i) ,  ii)  
(ख) मान लीजिए कि  एक परिमित आबेली समूह है तथा . सिद्ध कीजिए कि

जाँच कीजिए कि  निम्नलिखित का एक उपसमूह है या नहीं :

पुष्टिकरण के साथ, किसी अक्रमविनिमेय समूह के एक क्रमविनिमेय उपसमूह का उदाहरण दीजिए।

 सिद्ध कीजिए कि  (n बार)  और . 

जाँच कीजिए कि (X, ) एक समूह है या नहीं।

समुच्चय  पर विचार कीजिए। X पर को  द्वारा परिभाषित कीजिए।

क)  द्वारा  पर एक संबंध R परिभाषित कीजिए। जाँच कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है या नहीं। यदि है, तो सभी अलग-अलग तुल्यता वर्ग ज्ञात कीजिए। यदि R एक तुल्यता संबंध नहीं है, तो  पर एक तुल्यता संबंध परिभाषित कीजिए। (5)

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं? अपने उत्तरों की पुष्टि कीजिए। (इसका अर्थ है कि यदि आप सोचते हैं कि कोई कथन असत्य है, तो एक संक्षिप्त उपपत्ति या एक उदाहरण ऐसा दीजिए जो उसे असत्य दर्शाए। यदि यह एक सत्य कथन है, तो ऐसा कहने के लिए एक संक्षिप्त उपपत्ति दीजिए।)
i) , जहाँ  ऑयलर-फ़ाई फलन है।
ii) यदि G₁ और G₂ समूह हैं, तथा  एक समूह समाकारिता है, तो  होगा।
iii) यदि G एक आबेली समूह है, तो G चक्रीय होगा।
iv) यदि G एक समूह है तथा , तो  होता है।
v) S_n के प्रत्येक अवयव की कोटि ज़्यादा से ज़्यादा n होती है।
vi) यदि R एक वलय है तथा R की एक गुणजावली I है, तो  और ।
vii) यदि  सम संख्या में असंयुक्त चक्रों का गुणनफल है, तो  होता है।
viii) यदि किसी वलय का एक मात्रक है, तो उसका केवल एक ही मात्रक होता है।
ix) परिमित क्षेत्र का अभिलाक्षणिक शून्य होता है।
x) [0, 1] से  तक असंतत फलनों का समुच्चय बिंदुशः योग और गुणन के सापेक्ष एक वलय होता है।

वास्तविक जीवन की स्थिति की एक ऐसी समस्या दीजिए, जिसका गणितीय सूत्रीकरण है

) प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग करते हुए, निम्नलिखित के  में हल समुच्चय प्राप्त कीजिए:

i) 

ii) 

iii) 

पर विचार कीजिए। इस निकाय में क्रेमर नियम क्यों लागू होता है, इसके दो कारण दीजिए। साथ ही, निकाय को हल करने के लिए, इस नियम का प्रयोग कीजिए।
7. क)  के वे मान ज्ञात कीजिए, जिनके लिए ai समीकरण  का एक हल है। साथ ही, इस समीकरण के सभी मूल भी ज्ञात कीजिए।

यहाँ पांचवीं छवि में दिए गए पाठ का लिखित रूप है:
ख) 3i - 3 के सभी आठवें मूलों को ज्ञात कीजिए। साथ ही, इनमें से किसी एक को एक आरगां आलेख में दर्शाइए।

, द्वारा निरूपित रैखिक समीकरणों का एक निकाय, जहां A उपरोक्त (ii) में दिया आव्यूह है।
ख) रैखिक निकाय

उपरोक्त (i) के आव्यूह का परिवर्त;

एक  आव्यूह;

अपने इग्नू अध्ययन के संदर्भ में निम्नलिखित दीजिए :

i) निहितार्थ का एक उदाहरण;

ii) उपरोक्त (i) में दिए गए अपने कथन का विलोम;

iii) उपरोक्त (i) में दिए गए अपने कथन का प्रतिधनात्मक;

iv)  का प्रयोग करते हुए एक कथन;

v)  का प्रयोग करते हुए एक कथन;

 निहितार्थ का एक उदाहरण;

 महिलाओं के एक सर्वे से ज्ञात हुआ कि 25 केवल कक्षा 12 तक पढ़ी हैं; 10 केवल कक्षा 10 तक पढ़ी हैं; 26 को छात्रवृत्ति मिली है; कक्षा 12 तक पढ़ने वाली महिलाओं में से 9 को छात्रवृत्ति मिली है, कक्षा 10 तक पढ़ने वाली महिलाओं में से 8 को छात्रवृत्ति मिली है तथा 11 ने बी ए की डिग्री पूर्ण कर ली है।

 , तथा इसमें अवयवों की संख्या, ज्ञात कीजिए, जहां
, तथा
.
ii) दो समुच्चय C और D, दिए रहने पर, उन पर किन प्रतिबंधों के अधीन  और  में अवयवों की संख्या समान होगी? अपने उत्तर के कारण दीजिए।

 यदि A और B क्रमशः समपूर्णांकों और विषम पूर्णांकों के समुच्चय हैं, तो  और  ज्ञात कीजिए।