Let  be a finite abelian group and . Prove that

.

क)  द्वारा  पर एक संबंध R परिभाषित कीजिए। जाँच कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है या नहीं। यदि है, तो सभी अलग-अलग तुल्यता वर्ग ज्ञात कीजिए। यदि R एक तुल्यता संबंध नहीं है, तो  पर एक तुल्यता संबंध परिभाषित कीजिए। (5)

Let G be a group of order , with only two subgroups —  and itself. Find a minimal generating set for G. Also, find out whether n is a prime or a composite number, or can be either. 

 Check whether (X, ) is a group or not.

Let . Check whether D is a UFD or not. 

सिद्ध कीजिए कि वलयों के रूप में, . 

Consider the map . Let . Then B is a group with respect to the composition of functions. Check whether or not  is a normal subgroup of B.