Show that .
b) Let . Show that 

 महिलाओं के एक सर्वे से ज्ञात हुआ कि 25 केवल कक्षा 12 तक पढ़ी हैं; 10 केवल कक्षा 10 तक पढ़ी हैं; 26 को छात्रवृत्ति मिली है; कक्षा 12 तक पढ़ने वाली महिलाओं में से 9 को छात्रवृत्ति मिली है, कक्षा 10 तक पढ़ने वाली महिलाओं में से 8 को छात्रवृत्ति मिली है तथा 11 ने बी ए की डिग्री पूर्ण कर ली है।

) निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं? अपने उत्तरों की पुष्टि कीजिए। (इसका अर्थ है कि यदि आप सोचते हैं कि कोई कथन असत्य है, तो एक संक्षिप्त उपपत्ति या एक उदाहरण ऐसा दीजिए जो उसे असत्य दर्शाए। यदि यह एक सत्य कथन है तो ऐसा कहने के लिए एक संक्षिप्त उपपत्ति दीजिए। उदाहरण के लिए, यह दर्शाने के लिए कि '{1, पदमा, नीला} एक समुच्चय है' एक सत्य कथन है, आपको यह कहने की आवश्यकता है कि यह सत्य है, क्योंकि यह तीन वस्तुओं का एक सुपरिभाषित संग्रह है।) 
i) ,  और  में से z के निराकरण से  प्राप्त होता है।
ii)  के मूल  द्वारा दिए जाते हैं।
iii) .
iv)  में कोई भी n धनात्मक संख्या हों, तो उनके हरात्मक माध्य और समांतर माध्य का गुणनफल 1 होता है।
v) यदि A और B दो ऐसे समुच्चय हैं कि  रिक्त समुच्चय है, तो या तो  या  होगा।

vi) किन्हीं  के लिए।
vii) समुच्चय  का ज्यामितीय निरूपण एक बिंदु होता है।
viii) कोई भी परिमित समुच्चय  का एक उपसमुच्चय होता है।
ix) प्रत्येक चतुर्थांत समीकरण का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।
x) कथन 'एम.टी.ई-04 के प्रत्येक विद्यार्थी ने एफ.एस.डी-01 पूरा कर लिया है', का विलोम है 'FST-01 के प्रत्येक विद्यार्थी ने एम टी ई-04 पूरा कर लिया है' ।

Given any two sets C and D, under what conditions on them will  and  have the same number of elements? Give reasons for your answer.

 If A and B are the set of even integers and set of odd integers, respectively, find  and .

समीकरण  के साधक त्रिघाती देकार्त की विधि तथा फ़ेरारी की विधि द्वारा प्राप्त कीजिए। क्या दोनों त्रिघाती समान हैं? साथ ही, इनमें से किसी एक विधि द्वारा इस समीकरण के मूल प्राप्त कीजिए।

विविक्तकर का प्रयोग करते हुए,  के मूलों की प्रकृति बताइए। इस समीकरण को हल भी कीजिए।
ख) वह त्रिघात समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल  के मूलों के घन हैं।

ग) समीकरण  के साधक त्रिघाती देकार्त की विधि तथा फ़ेरारी की विधि द्वारा प्राप्त कीजिए। क्या दोनों त्रिघाती समान हैं? साथ ही, इनमें से किसी एक विधि द्वारा इस समीकरण के मूल प्राप्त कीजिए।