सिद्ध कीजिए कि (n बार)
और
.
मान लीजिए (x \in X={0,1}) तथा (n\in\mathbb{N})। हमें सिद्ध करना है कि [ x+x+\cdots +x ; (n\ \text{बार}) = (1+x)^n-1. ] __________ _____ ________ __________ ____.
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heck whether is a subring of the ring
or not. If it is, check whether or not it is an ideal of the ring also. If I is not a subring of the ring, then provide a subring of the ring.
र्शाइए कि यदि या
, तो
, जहां
.
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं? अपने उत्तरों की पुष्टि कीजिए। (इसका अर्थ है कि यदि आप सोचते हैं कि कोई कथन असत्य है, तो एक संक्षिप्त उपपत्ति या एक उदाहरण ऐसा दीजिए जो उसे असत्य दर्शाए। यदि यह एक सत्य कथन है, तो ऐसा कहने के लिए एक संक्षिप्त उपपत्ति दीजिए।)
i) , जहाँ
ऑयलर-फ़ाई फलन है।
ii) यदि G1 और G2 समूह हैं, तथा एक समूह समाकारिता है, तो
होगा।
iii) यदि G एक आबेली समूह है, तो G चक्रीय होगा।
iv) यदि G एक समूह है तथा , तो
होता है।
v) Sn के प्रत्येक अवयव की कोटि ज़्यादा से ज़्यादा n होती है।
vi) यदि R एक वलय है तथा R की एक गुणजावली I है, तो और
।
vii) यदि सम संख्या में असंयुक्त चक्रों का गुणनफल है, तो
होता है।
viii) यदि किसी वलय का एक मात्रक है, तो उसका केवल एक ही मात्रक होता है।
ix) परिमित क्षेत्र का अभिलाक्षणिक शून्य होता है।
x) [0, 1] से तक असंतत फलनों का समुच्चय बिंदुशः योग और गुणन के सापेक्ष एक वलय होता है।
सिद्ध कीजिए कि वलयों के रूप में, .
क) द्वारा
पर एक संबंध R परिभाषित कीजिए। जाँच कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है या नहीं। यदि है, तो सभी अलग-अलग तुल्यता वर्ग ज्ञात कीजिए। यदि R एक तुल्यता संबंध नहीं है, तो
पर एक तुल्यता संबंध परिभाषित कीजिए। (5)
Which of the following statements are true? Justify your answers. (This means that if you think a statement is false, give a short proof or an example that shows it is false. If it is true, give a short proof for saying so.) (20)
i) , where
is the Euler-phi function.
ii) If G1 and G2 are groups, and is a group homomorphism, then
.
iii) If G is an abelian group, then G is cyclic.
iv) If G is a group and , then
.
v) Every element of Sn has order at most n.
vi) If R is a ring and I is an ideal of R, then and
.
vii) If is a product of an even number of disjoint cycles, then
.
viii) If a ring has a unit, then it has only one unit.
ix) The characteristic of a finite field is zero.
x) The set of discontinuous functions from [0, 1] to form a ring with respect to point-wise addition and multiplication.
i) ,
ii)
(ख) मान लीजिए कि एक परिमित आबेली समूह है तथा
. सिद्ध कीजिए कि