Which of the following statements are true? Justify your answers. (This means that if you think a statement is false, give a short proof or an example that shows it is false. If it is true, give a short proof for saying so.) (20)
i) , where  is the Euler-phi function.
ii) If G₁ and G₂ are groups, and  is a group homomorphism, then .
iii) If G is an abelian group, then G is cyclic.
iv) If G is a group and , then .
v) Every element of S_n has order at most n.
vi) If R is a ring and I is an ideal of R, then  and .
vii) If  is a product of an even number of disjoint cycles, then .
viii) If a ring has a unit, then it has only one unit.
ix) The characteristic of a finite field is zero.
x) The set of discontinuous functions from [0, 1] to  form a ring with respect to point-wise addition and multiplication.

दर्शाइए कि M, R की एक गुणजावली है।

Consider the map . Let . Then B is a group with respect to the composition of functions. Check whether or not  is a normal subgroup of B. 

मान लीजिए कि G एक ऐसा समूह है कि  चक्रीय है। सिद्ध कीजिए कि G आबेली होगा।

Let G be a group of order 56. What are all its Sylow p-subgroups? Show that G is not simple, i.e., G must have a proper normal non-trivial subgroup. 

क)  द्वारा  पर एक संबंध R परिभाषित कीजिए। जाँच कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है या नहीं। यदि है, तो सभी अलग-अलग तुल्यता वर्ग ज्ञात कीजिए। यदि R एक तुल्यता संबंध नहीं है, तो  पर एक तुल्यता संबंध परिभाषित कीजिए। (5)

पुष्टिकरण के साथ, किसी अक्रमविनिमेय समूह के एक क्रमविनिमेय उपसमूह का उदाहरण दीजिए।