मान लीजिए कि 

द्वारा निरूपित प्रकार्य है जिसकी सीमावर्ती दशाएं y(0) = 0 और y(1) = 1 हैं। तो J (y) के लिए अंतराल [0,1] में आत्यंतिक मान ज्ञात कीजिए।

(ख) x(t_o) = 2 x(tr) = 3 के अधीन

के लिए चरम खोजें 

(क) मानक त्रुटि क्या है और यह महत्वपूर्ण क्यों है?

(ख) विश्वविद्यालय शिक्षणविभागों के 400 विद्यार्थियां के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श में, यह पाया गया कि 300 विद्यार्थी परीक्षा में फेल हुए हैं। इस विश्वविद्यालय से जुड़े कॉलेजों के 500 विद्यार्थियों के एक अन्य यादृच्छिक प्रतिदर्श में उसी परीक्षा में फेल होने वाले विद्यार्थियों की संख्या 300 पाई गई। विश्वविद्यालय शिक्षण विभागों में फेल होनेवालों के अनुपात तथा विश्वविद्यालय शिक्षण विभागों और जुड़े हुए कॉलेजों को मिलाकर फेल होने वालों के अनुपात के बीच अंतर की मानक त्रुटि ज्ञात कीजिए।

यह प्रश्न गणना और सांख्यिकी के विभिन्न पहलुओं से संबंधित है, जिसमें मानक त्रुटि और चरम खोजने जैसी विधियाँ शामिल हैं। चलिए, इसे क्रमवार रूप से हल करते हैं।

### (ख) x(to) = 2 x(tr) = 3 के अधीन

यहां पर x(to) और x(tr) की सीमाएँ दी गई हैं। इसे ध्यान में रखते हुए, हमें \( J(y) \) के लिए अंतराल [0, 1] में चरम मान (extrema) ज्ञात करना है। इसे हम यथासंभव सरलता से समझने के लिए एक सामान्य दृष्टिकोण अपनाएंगे। 

सम्भवत: प्रश्न में कुछ और गणना या परिभाषाएँ दी जानी चाहिए थीं, क्योंकि बिना अतिरिक्त संदर्भ या सूत्रों के, इस विश्लेषण को हल करना कठिन हो सकता है। इसके लिए हमें कोई विशेष प्रकार का गुणांक या संरचना की जानकारी चाहिए होती है, ताकि चरम खोजें जा सकें। 

अत: इस परिप्रेक्ष्य में यदि अतिरिक्त जानकारी या सूत्र दिया जाता तो हम इसे सुलझा सकते थे।

### (क) मानक त्रुटि क्या है और यह महत्वपूर्ण क्यों है?

मानक त्रुटि (Standard Error) किसी आँकड़े की औसत मूल्य (mean) के चारों ओर के फैलाव (spread) को मापने _________ _______ ____ ____ ______ ____ ______.
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