एल' हापिटल (L Hospital) का नियम
एल' हापिटल का नियम गणित में एक महत्वपूर्ण तकनीक है जिसका उपयोग तब किया जाता है जब किसी सीमा पर एक अव्यक्त रूप (0/0 या ∞/∞) उत्पन्न होता है, जैसे कि सीमा (limit) निकालते समय। इसका _____ ______ _________ ___ ______ _________ ________ ____ ________.
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मान लीजिए कि
द्वारा निरूपित प्रकार्य है जिसकी सीमावर्ती दशाएं y(0) = 0 और y(1) = 1 हैं। तो J (y) के लिए अंतराल [0,1] में आत्यंतिक मान ज्ञात कीजिए।
(ख) x(to) = 2 x(tr) = 3 के अधीन
के लिए चरम खोजें
(क) मानक त्रुटि क्या है और यह महत्वपूर्ण क्यों है?
(ख) विश्वविद्यालय शिक्षणविभागों के 400 विद्यार्थियां के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श में, यह पाया गया कि 300 विद्यार्थी परीक्षा में फेल हुए हैं। इस विश्वविद्यालय से जुड़े कॉलेजों के 500 विद्यार्थियों के एक अन्य यादृच्छिक प्रतिदर्श में उसी परीक्षा में फेल होने वाले विद्यार्थियों की संख्या 300 पाई गई। विश्वविद्यालय शिक्षण विभागों में फेल होनेवालों के अनुपात तथा विश्वविद्यालय शिक्षण विभागों और जुड़े हुए कॉलेजों को मिलाकर फेल होने वालों के अनुपात के बीच अंतर की मानक त्रुटि ज्ञात कीजिए।
What is a standard error, and why is it important?
क्रैमर-राव असमानता
L'Hôpital's rule.
किसी ऐसे निवेशक की कल्पना कीजिए जिसके पास समय t=0 पर आरंभिक पूंजी x (0)= x0 > 0 है। अगर T> 0 दिया हुआ है तो किसी समय t∈ [0, T'] में वह अपने लिए उपभोग की दर c(t) E [0,c] तय करता है जिसमें c > 0 उसके लिए उपभोग की अधिकतम दर है। इस तरह उसका पूंजी भंडार x = ax c (t) की दर से परिवर्तित होता है जब कि a > 0 प्रतिफल की एक निर्धारित दर है। c(t) की दर से उपभोग करने पर निवेशक की समय - उपयोगिता u(c(t)) है जबकि u: R→ R उसकी बढ़ती हुई उपयोगिता का फलन है जो शुद्ध रूप से अवतल है। निवेशक की समस्या उपभोग की एक ऐसी योजना c(t), t∈ [0, T] का निश्चय करना है जो बट्टा उपयोगिता को अधिकतम बढ़ाए। यहां
जबकि r≥ 0 बट्टे की एक निश्चित दर है जो दीवालियापन की इस शर्त के अधीन है कि t ∈ [0, ?] के सभी मानों के लिए पूंजी भंडार x(t) धनात्मक होना चाहिए।
(मान ẞ [0,∞) में निहित है।)
Let be the functional defined by
with boundary conditions and
. Find the extremals in the interval
.
b) Find the extremals for
subject to and
.
Cramer–Rao inequality.