व्यवस्थित यादृच्छिक प्रतिचयन और स्तरित प्रतिचयन

विचरण गुणांक

मानक प्रसामान्य बंटन के विशेषताएं

यादृच्छिक चर की अवधारणा की व्याख्या कीजिए।

समझाइए कि समाश्रयण मॉडल के लिए सामान्य समीकरण कैसे निकाले जा सकते हैं?

निम्नलिखित आँकड़े से पाशे विधि और फिशर विधि का उपयोग करके सूचकांक संख्या की गणना कीजिए।
 

द्विपद परीक्षण के लिए, दर्शाइए कि x सफलताओं की प्रायकिता p(x) निम्न प्रकार है:

आप किसी प्रतिदर्शज के लिए विश्वस्यता अंतराल का निर्माण कैसे करते हैं? इसके निहितार्थ क्या हैं?

उपयुक्त उदाहरण के माध्यम से मानक त्रुटि की अवधारणा की व्याख्या कीजिए। इसके निहितार्थ क्या हैं?

मानक प्रसामान्य वक्र के उपयुक्त आरेख का उपयोग करके सार्थकता का स्तर निराकृत क्षेत्र की अवधारणाओं की व्याख्या कीजिए।

दो घटनाओं A और B की प्रायिकताएँ इस प्रकार दी गई हैं:

  और  

 और  ज्ञात कीजिए।

यह भी जाँचिये कि क्या A और B हैं:

अ) समप्रायिक घटनाएँ

ब) निःशेष घटनाएँ

स) परस्पर अपवर्जी घटनाएँ

द) परस्पर स्वतंत्र घटनाएँ

क्रैमर-राव असमानता

अंतर समीकरण का क्रम

एल' हापिटल (L Hospital) का नियम

समघात और व्यवस्थित फलन

फलन f (x)=cos(x) ds लिए (क) रैखिक और द्विघाती सन्नियन का आकलन कीजिए तथा (ख) फलन के लिए मैकलारीन श्रृंखला का विस्तार कीजिए।

(ख ) मान लीजिए कि f:R² R²

F(x,y)= (e^2xy, 2x² + 3y²),

तो बिंदु (2,1) पर जैकोबियन J_f ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित लग्रांज समस्या पर विचार कीजिएः

व्यरोध g(u,v)=? ² + ??² = 10 के अंतर्गत f(u,v)=u+3v को अधिकतम कीजिए।

जब a=1.01 है, तब अधिकतम मान (1.01) का आकलन करने के लिए अन्वालोप प्रमेय का उपयोग कीजिए तथा इसकी जांच इष्टतम मूल्य फलन f* (a) के अभिकलन द्वारा कीजिए।

(ख) a > 0 के सापेक्ष, फलन f (u;a)=-? ² + 2?? + 4? ² को अधिकतम कीजिए।

मान लीजिए कि 

द्वारा निरूपित प्रकार्य है जिसकी सीमावर्ती दशाएं y(0) = 0 और y(1) = 1 हैं। तो J (y) के लिए अंतराल [0,1] में आत्यंतिक मान ज्ञात कीजिए।

(ख) x(t_o) = 2 x(tr) = 3 के अधीन

के लिए चरम खोजें 

(क) मानक त्रुटि क्या है और यह महत्वपूर्ण क्यों है?

(ख) विश्वविद्यालय शिक्षणविभागों के 400 विद्यार्थियां के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श में, यह पाया गया कि 300 विद्यार्थी परीक्षा में फेल हुए हैं। इस विश्वविद्यालय से जुड़े कॉलेजों के 500 विद्यार्थियों के एक अन्य यादृच्छिक प्रतिदर्श में उसी परीक्षा में फेल होने वाले विद्यार्थियों की संख्या 300 पाई गई। विश्वविद्यालय शिक्षण विभागों में फेल होनेवालों के अनुपात तथा विश्वविद्यालय शिक्षण विभागों और जुड़े हुए कॉलेजों को मिलाकर फेल होने वालों के अनुपात के बीच अंतर की मानक त्रुटि ज्ञात कीजिए।

मछली व्यवसाय के बारे में अभिश्टतम नियंत्रण की इस समस्या पर विचार कीजिए ?? ′ = ? + ??? − ?_t इसमें Pt समय t में मछलियों की कुल संख्या है, xt पकड़ी गई मछलियों की संख्या है तथा a और b स्थिरांक हैं। अगर बट्टे की दर  r हो और वस्तुनिष्ठ फलन             उपभोग की उपयोगिता का फलन हो अर्थात् c_t = x_t हो तो

(क) अनुप्रस्थता की शर्त (Transversality condition) लिखिए,

(ख) अभीष्टतम उपभोग (Optimum Consumption) x₁ का मान ज्ञात कीजिए अगर u(xt) = L_nx_t हो

किसी ऐसे निवेशक की कल्पना कीजिए जिसके पास समय t=0 पर आरंभिक पूंजी x (0)= x0 > 0 है। अगर T> 0 दिया हुआ है तो किसी समय t∈ [0, T'] में वह अपने लिए उपभोग की दर c(t) E [0,c] तय करता है जिसमें c > 0 उसके लिए उपभोग की अधिकतम दर है। इस तरह उसका पूंजी भंडार x = ax c (t) की दर से परिवर्तित होता है जब कि a > 0 प्रतिफल की एक निर्धारित दर है। c(t) की दर से उपभोग करने पर निवेशक की समय - उपयोगिता u(c(t)) है जबकि u: R→ R उसकी बढ़ती हुई उपयोगिता का फलन है जो शुद्ध रूप से अवतल है। निवेशक की समस्या उपभोग की एक ऐसी योजना c(t), t∈ [0, T] का निश्चय करना है जो बट्टा उपयोगिता को अधिकतम बढ़ाए। यहां 

जबकि r≥ 0 बट्टे की एक निश्चित दर है जो दीवालियापन की इस शर्त के अधीन है कि t ∈ [0, ?] के सभी मानों के लिए पूंजी भंडार x(t) धनात्मक होना चाहिए।

(मान ẞ [0,∞) में निहित है।)