फलन के सांतत्य की अनुक्रमिक परिभाषा का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि

द्वारा परिभाषित फलन f, प्रत्येक वास्तविक संख्या पर असंतत है।

मान लीजिए के रूप में परिभाषित अनुक्रम {a_n} है। दिखाइए कि {a_n} शून्य तक अभिसरण करता है।

[1,5] पर परिभाषित फलन f(x) = x²-2 के लिए सत्यापित कीजिए L(P, f) ≤U(-P, f) जहाँ P एक विभाजन है जो [1,5] को चार बराबर अंतरालों में विभाजित करता है।

दिखाइए कि

i)   

ii)   

उचित पुष्टि के साथ सीमा बिन्दुओं की परिमित संख्या वाले एक अपरिमित समुच्चय का उदाहरण दीजिए।

दिखाइए कि किसी भी a > 0 श्रेणी में एकसमानतः अभिसारी है।

चरम मानों के लिए फलन f(x) = (x+1)³ (x-3)² की जाँच कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि संतत फलन का संतत फलन संतत होता है।

सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम   अभिसारी। है जहाँ {a_n} परिबद्ध अनुक्रम है।

सिद्ध कीजिए कि

सिद्ध कीजिए कि पूर्णांकों का समुच्चय गणनीय है।

निम्नलिखित श्रेणी के अभिसरण की जाँच कीजिए:

i) 

ii)  

सातत्य की अनुक्रमिक परिभाषा द्वारा सिद्ध कीजिए कि

द्वारा परिभाषित फलन f असतत है,  I

मान लीजिए    द्वारा परिभाषित है, जहाँ [x] महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है। दिखाइए कि यह फलन समाकलनीय है।

दिखाइए कि ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है जिसके लिए समीकरण x⁴-3x²+k=0 के अंतराल [2,3] में दो अलग-अलग मूल होते हैं।

गणितीय आगम नियम द्वारा सिद्ध कीजिए कि    एक प्राकृत संख्या है,  

   ज्ञात कीजिए।

R पर सातत्य के लिए

द्वारा परिभाषित फलन f: IR IR की जाँच कीजिए। यदि R के किसी बिन्दु पर सतत नहीं है तब असातत्य का प्रकार ज्ञात कीजिए

सिद्ध कीजिए कि दो संवृत समुच्चयों का सम्मिलन संवृत समुच्चय है। यह दिखाने के लिए एक उदाहरण दीजिए कि संवृत समुच्चयों की परिमित संख्या का सम्मिलन संवृत समुच्चय नहीं भी हो सकता है।

बताइए निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों के कारण बताइए।

क) - 2 अंतराल  ]-3,2]  का सीमा बिन्दु है।

ख) श्रेणी   अपसारी है।

ग) फलन f (x) = sin²x अंतराल [0,] पर एकसमानतः सतत है।

घ) प्रत्येक सतत फलन अवकलनीय है।

ड.)  द्वारा पर परिभाषित फलन ƒ अंतराल [2, 3] में समाकलनीय है।