Question
बताइए निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों के कारण बताइए।
क) - 2 अंतराल ]-3,2] का सीमा बिन्दु है।
ख) श्रेणी अपसारी है।
ग) फलन f (x) = sin2x अंतराल [0,] पर एकसमानतः सतत है।
घ) प्रत्येक सतत फलन अवकलनीय है।
ड.) द्वारा
पर परिभाषित फलन ƒ अंतराल [2, 3] में समाकलनीय है।
Answer :
Word Count : 588
आइए दिए गए कथनों का विश्लेषण करें और सत्यता की जाँच करें: --- ### (क) -2 अंतराल \( ]-3,2] \) का सीमा बिन्दु है। विश्लेषण: सीमा बिंदु (limit point) वह होता है जिसके हर ε-पड़ोस में कम से कम एक भिन्न बिंदु अंतराल का होता है। अंतराल \( ]-3,2] \) का तात्पर्य है कि यह \(-3\) को छोड़कर \(-3\) से लेकर \(2\) तक के सभी बिंदु समाहित करता है। अब जाँच करते हैं कि \(-2\) इस अंतराल का सीमा बिंदु है या नहीं: - \(-2\) स्वयं अंतराल में मौजूद है। - यदि हम \(-2\) के किसी भी छोटे पड़ोस \( (-2-\epsilon, -2+\epsilon) \) को लें (जहाँ \( \epsilon > 0 \) है), तो इस पड़ोस में अन्य ___ _________ _____ _______ _____ _____ __________ ________ ________ _________.
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आइए दिए गए कथनों का विश्लेषण करें और सत्यता की जाँच करें: --- ### (क) -2 अंतराल \( ]-3,2] \) का सीमा बिन्दु है। विश्लेषण: सीमा बिंदु (limit point) वह होता है जिसके हर ε-पड़ोस में कम से कम एक भिन्न बिंदु अंतराल का होता है। अंतराल \( ]-3,2] \) का तात्पर्य है कि यह \(-3\) को छोड़कर \(-3\) से लेकर \(2\) तक के सभी बिंदु समाहित करता है। अब जाँच करते हैं कि \(-2\) इस अंतराल का सीमा बिंदु है या नहीं: - \(-2\) स्वयं अंतराल में मौजूद है। - यदि हम \(-2\) के किसी भी छोटे पड़ोस \( (-2-\epsilon, -2+\epsilon) \) को लें (जहाँ \( \epsilon > 0 \) है), तो इस पड़ोस में अन्य ___ _________ _____ _______ _____ _____ __________ ________ ________ _________.
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