सिद्ध कीजिए कि पूर्णांकों का समुच्चय गणनीय है।
पूर्णांकों का समुच्चय गणनीय होने का प्रमाण देने के लिए हम यह सिद्ध करेंगे कि पूर्णांकों का समुच्चय एक सूचीबद्ध (countable) समुच्चय है, अर्थात हम इसे किसी सूची में व्यवस्थित कर सकते ___ ___ _____ _______ _______ ________ ________ ______ _________ _______ _____ _________.
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जाँच कीजिए :
f (x) = (x-s)3 (x+1)2
द्वारा दिए गए फलन f का स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ होता है या नहीं।
सातत्य की अनुक्रमिक परिभाषा द्वारा सिद्ध कीजिए कि
द्वारा परिभाषित फलन f असतत है, I
ज्ञात कीजिए।
मान लीजिए द्वारा परिभाषित है, जहाँ [x] महत्तम पूर्णांक
को निरूपित करता है। दिखाइए कि यह फलन समाकलनीय है।
Show that the series is uniformly convergent in
for any a>0.
मान लीजिए के रूप में परिभाषित अनुक्रम {an} है। दिखाइए कि {an} शून्य तक अभिसरण करता है।
बताइए निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों के कारण बताइए।
क) - 2 अंतराल ]-3,2] का सीमा बिन्दु है।
ख) श्रेणी अपसारी है।
ग) फलन f (x) = sin2x अंतराल [0,] पर एकसमानतः सतत है।
घ) प्रत्येक सतत फलन अवकलनीय है।
ड.) द्वारा
पर परिभाषित फलन ƒ अंतराल [2, 3] में समाकलनीय है।