Cramer–Rao inequality.
The Cramer–Rao inequality is a fundamental result in statistics that provides a lower bound on the variance of an unbiased estimator. It states that the variance of any unbiased estimator \(\hat{\theta}\) of a parameter \(\theta\) cannot be smaller than the reciprocal of the Fisher information, under regularity conditions. Mathematically, the inequality _________ _____ ________ ___ ________.
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किसी ऐसे निवेशक की कल्पना कीजिए जिसके पास समय t=0 पर आरंभिक पूंजी x (0)= x0 > 0 है। अगर T> 0 दिया हुआ है तो किसी समय t∈ [0, T'] में वह अपने लिए उपभोग की दर c(t) E [0,c] तय करता है जिसमें c > 0 उसके लिए उपभोग की अधिकतम दर है। इस तरह उसका पूंजी भंडार x = ax c (t) की दर से परिवर्तित होता है जब कि a > 0 प्रतिफल की एक निर्धारित दर है। c(t) की दर से उपभोग करने पर निवेशक की समय - उपयोगिता u(c(t)) है जबकि u: R→ R उसकी बढ़ती हुई उपयोगिता का फलन है जो शुद्ध रूप से अवतल है। निवेशक की समस्या उपभोग की एक ऐसी योजना c(t), t∈ [0, T] का निश्चय करना है जो बट्टा उपयोगिता को अधिकतम बढ़ाए। यहां
जबकि r≥ 0 बट्टे की एक निश्चित दर है जो दीवालियापन की इस शर्त के अधीन है कि t ∈ [0, ?] के सभी मानों के लिए पूंजी भंडार x(t) धनात्मक होना चाहिए।
(मान ẞ [0,∞) में निहित है।)
एल' हापिटल (L Hospital) का नियम
For the function :
i) Find the linear and quadratic approximations.
ii) Derive the Maclaurin series expansion.
b) Let be defined as
Find the Jacobian at the point
.
क्रैमर-राव असमानता
समघात और व्यवस्थित फलन
मान लीजिए कि
द्वारा निरूपित प्रकार्य है जिसकी सीमावर्ती दशाएं y(0) = 0 और y(1) = 1 हैं। तो J (y) के लिए अंतराल [0,1] में आत्यंतिक मान ज्ञात कीजिए।
(ख) x(to) = 2 x(tr) = 3 के अधीन
के लिए चरम खोजें
(क) मानक त्रुटि क्या है और यह महत्वपूर्ण क्यों है?
(ख) विश्वविद्यालय शिक्षणविभागों के 400 विद्यार्थियां के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श में, यह पाया गया कि 300 विद्यार्थी परीक्षा में फेल हुए हैं। इस विश्वविद्यालय से जुड़े कॉलेजों के 500 विद्यार्थियों के एक अन्य यादृच्छिक प्रतिदर्श में उसी परीक्षा में फेल होने वाले विद्यार्थियों की संख्या 300 पाई गई। विश्वविद्यालय शिक्षण विभागों में फेल होनेवालों के अनुपात तथा विश्वविद्यालय शिक्षण विभागों और जुड़े हुए कॉलेजों को मिलाकर फेल होने वालों के अनुपात के बीच अंतर की मानक त्रुटि ज्ञात कीजिए।
मछली व्यवसाय के बारे में अभिश्टतम नियंत्रण की इस समस्या पर विचार कीजिए ?? ′ = ? + ??? − ?t इसमें Pt समय t में मछलियों की कुल संख्या है, xt पकड़ी गई मछलियों की संख्या है तथा a और b स्थिरांक हैं। अगर बट्टे की दर r हो और वस्तुनिष्ठ फलन उपभोग की उपयोगिता का फलन हो अर्थात् ct = xt हो तो
(क) अनुप्रस्थता की शर्त (Transversality condition) लिखिए,
(ख) अभीष्टतम उपभोग (Optimum Consumption) x₁ का मान ज्ञात कीजिए अगर u(xt) = Lnxt हो