Cramer–Rao inequality.
The Cramer–Rao inequality is a fundamental result in statistics that provides a lower bound on the variance of an unbiased estimator. It states that the variance of any unbiased estimator \(\hat{\theta}\) of a parameter \(\theta\) cannot be smaller than the reciprocal ________ ______ _____ ___ ___ _______ ________.
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L'Hôpital's rule.
फलन f (x)=cos(x) ds लिए (क) रैखिक और द्विघाती सन्नियन का आकलन कीजिए तथा (ख) फलन के लिए मैकलारीन श्रृंखला का विस्तार कीजिए।
(ख ) मान लीजिए कि f:R2 R2
F(x,y)= (e2xy, 2x² + 3y²),
तो बिंदु (2,1) पर जैकोबियन Jf ज्ञात कीजिए।
Order of a difference equation.
अंतर समीकरण का क्रम
मछली व्यवसाय के बारे में अभिश्टतम नियंत्रण की इस समस्या पर विचार कीजिए ?? ′ = ? + ??? − ?t इसमें Pt समय t में मछलियों की कुल संख्या है, xt पकड़ी गई मछलियों की संख्या है तथा a और b स्थिरांक हैं। अगर बट्टे की दर r हो और वस्तुनिष्ठ फलन उपभोग की उपयोगिता का फलन हो अर्थात् ct = xt हो तो
(क) अनुप्रस्थता की शर्त (Transversality condition) लिखिए,
(ख) अभीष्टतम उपभोग (Optimum Consumption) x₁ का मान ज्ञात कीजिए अगर u(xt) = Lnxt हो
किसी ऐसे निवेशक की कल्पना कीजिए जिसके पास समय t=0 पर आरंभिक पूंजी x (0)= x0 > 0 है। अगर T> 0 दिया हुआ है तो किसी समय t∈ [0, T'] में वह अपने लिए उपभोग की दर c(t) E [0,c] तय करता है जिसमें c > 0 उसके लिए उपभोग की अधिकतम दर है। इस तरह उसका पूंजी भंडार x = ax c (t) की दर से परिवर्तित होता है जब कि a > 0 प्रतिफल की एक निर्धारित दर है। c(t) की दर से उपभोग करने पर निवेशक की समय - उपयोगिता u(c(t)) है जबकि u: R→ R उसकी बढ़ती हुई उपयोगिता का फलन है जो शुद्ध रूप से अवतल है। निवेशक की समस्या उपभोग की एक ऐसी योजना c(t), t∈ [0, T] का निश्चय करना है जो बट्टा उपयोगिता को अधिकतम बढ़ाए। यहां
जबकि r≥ 0 बट्टे की एक निश्चित दर है जो दीवालियापन की इस शर्त के अधीन है कि t ∈ [0, ?] के सभी मानों के लिए पूंजी भंडार x(t) धनात्मक होना चाहिए।
(मान ẞ [0,∞) में निहित है।)
Consider the Lagrange problem:
Use the envelope theorem to estimate the maximum value when
, and verify this by computing the optimal value function
.
b) Maximize the function
with respect to .