लघुदोलन आयाम वाली सरल आवर्त गति
लघुदोलन आयाम वाली सरल आवर्त गति में किसी कण या पिंड का विस्थापन उसकी संतुलन स्थिति से छोटे स्तर पर होता है और उसे सरल अवकल समीकरणों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रकार की गति में विस्थापन, वेग और त्वरण समय के सापेक्ष सरल साइन या कोसाइन फलन के _____ _____ _____ ________ ______ _____ _______ ____ ___.
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वह महामारी निदर्श लीजिए जो आदि प्रतिबंध पर
के अधीन निम्नलिखित अवकल समीकरण द्वारा नियंत्रित है :
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जहां x(t) समय t पर सुग्राह्य व्यक्तियों की संख्या है, संपर्क दर है। ऐसा मान लिया गया है कि जनसंख्या संवृत्त है और लोग समांग रूप से एक दूसरे के साथ मिल-जुलकर रह रहे हैं। मान लीजिए संपर्क दर 0.002 है और सुग्राह्य व्यक्तियों की संख्या प्रारंभ में 5000 है।
i) जनसंख्या का घनत्व ज्ञात कीजिए जब व्यक्तियों के नए रोगी बनने की दर अधिकतम हो।
ii) वह समय (सप्ताहों में) ज्ञात कीजिए जिसमें व्यक्तियों के नए रोगी बनने की दर अधिकतम हो।
iii) नए रोगी बनने की अधिकतम दर प्राप्त कीजिए।
एक पेराशूटिसट जिसका वजन (वस्तुतः द्रव्यमान) 64 किग्रा है, जमीन से 5000 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहे हेलीकाप्टर से नीचे गिरती है। वह गुरूत्व के प्रभाव के अधीन धरती की ओर गिरती है। यहां यह मान लीजिए कि गुरूत्व बल अचर है। यहां पर भी मान लीजिए कि वायु-प्रतिरोध से उत्पन्न बल पेराशूटिसट के वेग के आनुपातिक है। आनुपातिकता स्थिरांक किग्रा/सेकेंड है, जबकि पेराशूट बंद है और
किग्रा/सेकेंड जबकि पेराशूट खुला होता है। यदि हेलीकाप्टर से गिरने के 1 मिनट बाद भी पेराशूट नहीं खुलता है तो बताइए कि कितने सेकेंड बाद वह धरती पर गिर जाएगी?
वास्तविक जगत से जुड़ी ऐसी दो समस्याएं बताइए जिनके बारे में आप यह समझते हैं कि केवल गणितीय निदर्शन से ही इन समस्याओं का हल प्राप्त किया जा सकता है। प्रत्येक समस्या के लिए चार अनिवार्य तथ्य भी बताइए। आप ऐसा क्यों समझते हैं कि इन समस्याओं के उपचार के लिए कोई अन्य वैज्ञानिक विकल्प नहीं है?
क) साम्य बिंदुओं का पता लगाकर और प्रावस्था पथ आलेखित करके निम्नलिखित निकायों के प्रावस्था आरेखों की तुलना कीजिए :
i)
ii) (5)
जल निकाय में फाइटोप्लैंक्टन की एक विम संवृद्धि लीजिए। संवृद्धि की गतिकी का निर्धारण करने वाला निदर्श सूत्रित कीजिए, D इसका विसरण गुणांक है, r इसकी संवृद्धि दर है और R डूबने के कारण इसकी मृत्यु-दर है। यदि हम क्षेत्रफल लें, और फाइटोप्लैंक्टन का प्रारंभिक सांद्रण
मान लें, तो किसी भी समय t पर में फाइटोप्लैंक्टन का सांद्रण बंटन ज्ञात कीजिए।
निम्नलिखित समीकरण निकाय लीजिए।$
संगत रैखिक समीकरण-निकाय के क्रांतिक बिन्दु की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
ग) लंबाई l वाली डोरी के एक छोर को एक नियत बिन्दु से और दूसरे छोर को द्रव्यमान m वाली एक छड़ी से जोड़ दिया गया है। यह छड़ी अचर वेग v से एक वृत्त में चक्कर काट रही है। विमीय विश्लेषण की सहायता से डोरी में लग रहे बल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Characterise the following as discrete or continuous giving reasons for your answers.
i) Effects of radiation treatment on a tumour when applied for short period of time but at regular intervals.
ii) Effects of chemotherapy drugs on a tumour when introduced into a patient for a given duration of time.
b) A particle of mass m moves on a straight line towards the centre of attraction, starting from rest at a distance a from the centre. Its velocity at a distance x from the centre varies as . Find the law of force.
c) If a planet was suddenly stopped in its orbit, supposed circular, show that it will fall into the sun in a time which is times the period of the planet’s revolution.