एक पेराशूटिसट जिसका वजन (वस्तुतः द्रव्यमान) 64 किग्रा

Question

एक पेराशूटिसट जिसका वजन (वस्तुतः द्रव्यमान) 64 किग्रा है, जमीन से 5000 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहे हेलीकाप्टर से नीचे गिरती है। वह गुरूत्व के प्रभाव के अधीन धरती की ओर गिरती है। यहां यह मान लीजिए कि गुरूत्व बल अचर है। यहां पर भी मान लीजिए कि वायु-प्रतिरोध से उत्पन्न बल पेराशूटिसट के वेग के आनुपातिक है। आनुपातिकता स्थिरांक $k_1 = 16$ किग्रा/सेकेंड है, जबकि पेराशूट बंद है और $k_2 = 100$ किग्रा/सेकेंड जबकि पेराशूट खुला होता है। यदि हेलीकाप्टर से गिरने के 1 मिनट बाद भी पेराशूट नहीं खुलता है तो बताइए कि कितने सेकेंड बाद वह धरती पर गिर जाएगी?

09 Jan 2026

Answer :

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मान लीजिए नीचे की दिशा को धनात्मक लिया जाए। पेराशूटिसट का द्रव्यमान (m = 64\ \text{kg}) है तथा गुरुत्वजनित त्वरण (g = 9.8\ \text{m/s}^2) है। वायु-प्रतिरोध बल वेग के आनुपातिक है और गति के विपरीत दिशा में कार्य करता है। ### (i) पहले 60 सेकंड : पेराशूट बंद ( (k_1 = 16) ) गति का समीकरण [ m\frac{dv}{dt} = mg - kv ] [ 64\frac{dv}{dt} = 64(9.8) - 16v ] [ \frac{dv}{dt} + \frac{1}{4}v = 9.8 ] यह एक प्रथम कोटि रैखिक अवकल समीकरण है। इसका हल [ v(t) = C e^{-t/4} + \frac{9.8}{1/4} = C e^{-t/4} + 39.2 ] प्रारंभिक शर्त: (t=0) पर (v=0) _______ ________ __________ _____ ________ _________ ________ _____ _____ ____ _____.
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