जाँच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों की पुष्टि

Question

जाँच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों की पुष्टि एक लघु उपपत्ति या प्रतिउदाहरण देकर कीजिए। (20)
i) "x² + y² - 3, 4 से विभाज्य नहीं है।" एक गणितीय कथन है।
ii) $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ से $\{a, b, c, d\}$ पर आच्छादित फलनों की संख्या 4! S₆⁴ है।
iii) किसी अनुक्रम का जनक फलन कभी भी एक बहुपद नहीं हो सकता।
iv) $n \log n \in O(n^2)$ है।
v) निकृष्टतम स्थिति में, वरणात्मक शाटन प्रविष्टि शाटन से तीव्र होता है।
vi) $a_n = a_{\frac{n}{2}} + n, a_1 = 0$ , जहाँ n, 2 का घात है, एक रैखिक पुनरावृत्ति संबंध है।
vii) अनुक्रम $\{1, 2, 3, \dots, n, \dots\}$ का जनक फलन (1 - z)^-2 है।
viii) यदि $g(x), \{a_n\}_{n \ge 1}$ का जनक फलन है, तो (1 - x)g(x) अनुक्रम $\{b_n\}_{n \ge 1}$ का जनक फलन है, जहाँ सभी $n \ge 1$ के लिए $b_n = a_n - 1$ है।
ix) 10 के उन विभाजनों की संख्या जिनमें कोई भी भाग 5 से बड़ा नहीं है, Q₁₀⁵ है।
x) समीकरण $x_1 + x_2 + \dots + x_{10} = 50$ के धन पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{49}{9}$ है।

20 Jan 2026

Answer :

Word Count : 211

i) असत्य। यह कथन सर्वत्र परिमाणित नहीं है और “विभाज्य नहीं है” जैसा नकारात्मक वाक्य बिना चर के परिमाणीकरण के पूर्ण गणितीय कथन नहीं बनता। ii) सत्य। n-तत्वों वाले समुच्चय से n-तत्वों वाले समुच्चय पर ___ ______ ____ ______ ___ ___.
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