बैल संख्याएँ B6 और B7 ज्ञात कीजिए।
बैल (बर्नौली) संख्याएँ (B_n) निम्न जनरेटिंग फलन से परिभाषित होती हैं [ \frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty} B_n \frac{x^n}{n!} ] इससे ज्ञात मान क्रमशः प्राप्त होते हैं: [ B_0=1,\quad B_1=-\frac12,\quad ___ _________ ____ __________ _______ __________ __________ ___.
__________ __________ _______ ______ _____ __________ _________ _______ _______ _________ _______ ____.
___ _______ ___ ______ ___ ____ _____ _____ __________ __________ _____ _______.
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जाँच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों की पुष्टि एक लघु उपपत्ति या प्रतिउदाहरण देकर कीजिए। (20)
i) "x2 + y2 - 3, 4 से विभाज्य नहीं है।" एक गणितीय कथन है।
ii) से
पर आच्छादित फलनों की संख्या 4! S64 है।
iii) किसी अनुक्रम का जनक फलन कभी भी एक बहुपद नहीं हो सकता।
iv) है।
v) निकृष्टतम स्थिति में, वरणात्मक शाटन प्रविष्टि शाटन से तीव्र होता है।
vi) , जहाँ n, 2 का घात है, एक रैखिक पुनरावृत्ति संबंध है।
vii) अनुक्रम का जनक फलन (1 - z)-2 है।
viii) यदि का जनक फलन है, तो (1 - x)g(x) अनुक्रम
का जनक फलन है, जहाँ सभी
के लिए
है।
ix) 10 के उन विभाजनों की संख्या जिनमें कोई भी भाग 5 से बड़ा नहीं है, Q105 है।
x) समीकरण के धन पूर्णांक हलों की संख्या
है।
यदि पुनरावृत्ति संबंध का हल
है , तो
और f(n) के मान ज्ञात कीजिए।
किन्हीं भी प्राकृतिक संख्याओं n और k के लिए, सिद्ध कीजिए कि होता है।
Find the generating function of the recurrence with initial conditions
.
If the solution of the recurrence relation is
, then determine the values of
and f(n).
एक ऐसी कलन-विधि लिखिए जो किन्हीं दो दी हुई संख्याओं p और q, जहाँ , के बीच के सभी विषम पूर्णांकों के वर्गों का योगफल ज्ञात करती है।
प्रारम्भिक प्रतिबंधों के साथ, पुनरावृत्ति संबंध
का जनक फलन ज्ञात कीजिए।