20 पदों का माध्य और मानक विचलन क्रमशः 10 और 2 पाया गया है। जाँच करते समय यह पाया गया कि मान 8 वाला एक पद गलत है। यदि गलत पद को हटा दिया जाए तो माध्य और मानक विचलन परिकलित कीजिए।

मान लीजिए कि X, एक चरघातांकी बंटन का एक प्रेक्षण है, जिसका प्रायिकता घनत्व फलन

है। निराकरणीय परिकल्पना कि बंटन का माध्य  = 2 है की प्रतिकूल वैकल्पिक परिकल्पना कि माध्य = 5 है, का परीक्षण कीजिए। निराकरणीय परिकल्पना केवल तभी स्वीकार की जाती है यदि और केवल यदि यादृच्छिक चर का प्रेक्षित मान 3 से कम हो। टाइप-1 और टाइप- II त्रुटियों की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।

किसी पुल को पार करते समय एक कार के टायर सपाट होने की प्रायिकता 0.00005 है। पुल पर करने वाली 10,000 कारों के लिए वह प्रायिकता ज्ञात कीजिए जबकि

i) ठीक 2 कारों के टायर सपाट होंगे।

ii) ज्यादा से ज्यादा 2 कारों के टायर सपाट होंगे।

मानक विचलन 5 वाले मध्यककुदी बंटन के लिए चतुर्थ केंद्रीय आघूर्ण, ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि r.v. X का प्रायिकता घनत्व फलन निम्नलिखि है:

और यदि u = X और v = X² हो, तो Cov (u,v) ज्ञात कीजिए। u और v के स्वांतन्त्र्य की भी जाँच कीजिए।

मान लीजिए कि E₁ E₂, E₃, और E₄, स्वैच्छिक घटनाएँ हैं। निम्नलिखित घटनाओं को समुच्चय संकेतनों में लिखिए :

ⅰ) E₁, E₂, E₃ और E₄ में एक से अधिक नहीं।

ii) E₁, E₂, E₃ और E₄ में से केवल एक।

iii) E₁, और कम-से-कम E₂, E₃, E₄ में से एक।

iv) E₁ के साथ E₂, E₃, और E₄ में से कोई नहीं।

यदि एक यादृच्छिक चर X इस प्रकार है कि E(X) = 3 और E(X²) = 13, है, तो P(-2

एक चर x का माध्य और मानक विचलन क्रमशः m और है।  मानक विचलन ज्ञात कीजिए जबकि a, b और C  अचर हैं।

निम्नलिखित संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन लीजिए :

क्या दोनों x और y समाश्रयण रैखिक हैं? अपने उत्तर का कारण दीजिए।

एक पासे को 60 बार फेंकने से निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं:

5% सार्थकता स्तर पर परीक्षण कीजिए कि पासा अनभिनत है। दिया गया है कि 5, 6 और 7 स्वातंत्र्य कोटि के लिए %' के मान क्रमशः 11.070, 15.592 और 14.067 हैं।

(X,Y) पर किए गए 6 प्रेक्षणों से प्राप्त आँकड़े निम्नलिखित हैं :

i) X और Y के बीच सहसंबंध-गुणांक ज्ञात कीजिए।

ii) दिया गया है X = 10, तब Y का प्रागुक्त मान क्या होगा?

iii) दिया गया है Y = 15, तो X प्रागुक्त मान क्या होगा?

14 वर्ष की आयु के बच्चों की एक बड़ी संख्या का माध्य I.Q.100 और मानक विचलन 16 था। मान लीजिए कि बंटन प्रसामान्य था, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए :

i) 80 से कम I.Q. वाले बच्चों का प्रतिशत ।

ii) वह सीमा जिसके लिए बीच में 40% बच्चों की I.Q. होगी।

आप निम्नलिखित मानों का प्रयोग कर सकते हैं:

P(Z>1.25) = 0.1056

P(Z< -0.525) = 0.3

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से असत्य? अपने उत्तर में संक्षिप्त उपपत्ति या प्रत्युदाहरण दीजिए।

i) यदि X और Y के बीच सहसंबंध गुणांक-0.8 है, तो 2X-1 और-3Y-1 के बीच सहसंबंध गुणांक - 0.48 होगा।

ii) यदि X और Y क्रमशः (n₁, p₁) और (n₂, p₂) प्राचलों वाले स्वतंत्र द्विपद चर हैं, तो X+Y प्राचल (n₁ + n₂, P₁ + p₂). वाला द्विपद बंटन होगा।

iii)   द्वारा परिभाषित फलन एक प्रायिकता घनत्व फलन है।

iv) माध्य  और प्रसरण σ², वाले एक प्रसामान्य बंटन के लिए, परिकल्पनाएँ

Η₁: μ = μο, σ² = 1 और

Η₁: μ = μο, σ² = 1 सरल परिकल्पनाएँ हैं।

v) सरल वैकल्पिक के विरूद्ध सरल परिकल्पना के परीक्षण की समस्या में, यदि टाइप-I अशुद्धि की प्रायिकता 0.06 है, तो परीक्षण की क्षमता 0.94 होगी।

For married couples living in a certain locality, the probability that the husband will vote in a school board election is 0.21, the probability that they both will vote is 0.15. What is the probability that

i) at least one of them will vote?

ii) neither of them will vote?

Let X be a gamma variable with parameters  and , having E(X) = 6 and Var (X)=3. Find  and . Also, find the m.g.f. of a gamma variable, and hence verify that mean of X is 6 and variance of X is 3 using m.g.f.

The mean and standard deviation of 20 items is found to be 10 and 2 respectively. At the time of checking it was found that one item having value 8 was incorrect. Calculate the mean and standard deviation if the wrong item is omitted.

Let X₁ be an observation from an exponential distribution with the p.d.f.

Test the null hypothesis that the mean of the distribution is =2 against the alternative hypothesis that is =5. The null hypothesis is accepted if and only if the observed value of the random variable is less than 3. Find the probabilities of type-I and type-II errors.

The probability that a card will have a flat tyre while crossing a certain bridge is 0.00005. Find the probability that, among 10,000 cars crossing the bridge,

i) exactly two cars will have a flat tyre.

ii) at most two cards will have a flat tyre.

For a mesokurtic distribution with standard deviation 5, find fourth central moment m₄.

Let the probability density function of r.v. X be

and if u = X and v = X², find Cov(u, v). Also check the independence of u and v.