फलन f की पर असांतत्य के प्रकार की जाँच कीजिए, जहाँ
है।
दिया है ( f(x)=\begin{cases} x-|x|, & x\neq 0 \ 2, & x=0 \end{cases} ) पहले (x-|x|) को ____ ___ _________ _______ _____ _____.
_________ ________ _____ ___ _________ ___.
_____ __________ ______ __________ _____ ____ ___ ______ _____ _________ ______ _____.
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State Cauchy’s second theorem on limits. Use it to show that:
जाँच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य। अपने उत्तर की लघु-व्याख्या या प्रति-उदाहरण द्वारा पुष्टि कीजिए।
(i) का निषेध
है।
(ii) गणनीय हैं।
(iii) समीकरण का एक वास्तविक मूल -2 और 1 के बीच है।
(iv) प्रत्येक वर्धमान अनुक्रम का एक अभिसारी उप-अनुक्रम होता है।
(v) फलन में एक अपनेय असांतत्य है।
(vi) एक समाकलनीय फलन में असांतत्य के सीमित बिंदु होते है।
(vii) श्रेणी अपसारी है।
(viii) फलन f, जो , द्वारा परिभाषित है तथा
पर परिभाषित है, का स्थानीय अधिकतम
पर हैं।
(ix) अंतराल [a, b] पर परिभाषित प्रत्येक अचर फलन रीमान समाकलनीय होता है।
(x) फलन जो
द्वारा परिभाषित है,
पर अवकलनीय है।
Show that the function defined as
is continuous on its domain, but not uniformly continuous there. Will the function be uniformly continuous on
for any fixed c > 0?
सीमाओं पर कौशी का द्वितीय प्रमेय लिखिए। इसे यह प्रदर्शित करने के लिए प्रयोग कीजिए कि हो।
Check whether the set of integers is countable or not.
Suppose that f and g are in R[a, b]. Then show that the function f + g is in R[a, b], and
गणितीय आगमन का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि प्रथम 'n' प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योगफल होता है।