Check whether the set of integers is countable or not.
A set is said to be countable if its elements can be put into one-to-one correspondence with the set of natural numbers. The set of integers consists of all positive integers, negative integers, and zero. ___ ___ _________ _____ __________ _________ ________ _________ ____ ________ _____.
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Find the radius of convergence of the series , where
.
Give one example for each of the following. Justify.
(i) A set which is neither open or closed.
(ii) A set which has no limit point.
State whether the following statements are true or false. Justify your answers with a short proof or a counterexample.
i) The negation of is
.
ii) is countable.
iii) The equation has a real root between -2 and 1.
iv) Every increasing sequence has a convergent subsequence.
v) The function defined as
has a removable discontinuity.
vi) An integrable function can have finitely many points of discontinuity.
vii) The series is divergent.
viii) The function f defined by , has local maximum at
.
ix) Every constant function on [a, b] is Riemann Integrable.
x) The function defined by
is differentiable at
.
Check whether the set of integers is countable or not.
जाँच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य। अपने उत्तर की लघु-व्याख्या या प्रति-उदाहरण द्वारा पुष्टि कीजिए।
(i) का निषेध
है।
(ii) गणनीय हैं।
(iii) समीकरण का एक वास्तविक मूल -2 और 1 के बीच है।
(iv) प्रत्येक वर्धमान अनुक्रम का एक अभिसारी उप-अनुक्रम होता है।
(v) फलन में एक अपनेय असांतत्य है।
(vi) एक समाकलनीय फलन में असांतत्य के सीमित बिंदु होते है।
(vii) श्रेणी अपसारी है।
(viii) फलन f, जो , द्वारा परिभाषित है तथा
पर परिभाषित है, का स्थानीय अधिकतम
पर हैं।
(ix) अंतराल [a, b] पर परिभाषित प्रत्येक अचर फलन रीमान समाकलनीय होता है।
(x) फलन जो
द्वारा परिभाषित है,
पर अवकलनीय है।
Test the convergence of the series: .
Check whether the following sets are open or closed or neither:
(i)
(ii)