दिखाइए कि शांकवज केंद्रीय है। अतः इसका केंद्र निकालिए।
दिए गए शांकवज समीकरण को केंद्रीय रूप में लाने के लिए, हमें इसे \( Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \) के रूप में देखना होगा और केंद्र निकालने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करना होगा। दी गई समीकरण है: \[ 2x^2 + 2y^2 + xy - yz + zx + 2x - y + 5z + 1 = 0 \] ### चरण 1: पहचान करें कि यह एक केंद्रीय __________ ___ ________ ___ _____ ___ __________ ___ _______ _______ _____.
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सिद्ध कीजिए कि किसी परवलय की नाभि से गुजरने वाली तथा उस परवलय की अक्ष से 30° पर झुकी हुई जीवा की लंबाई, उस परवलय की नाभिलंब की लंबाई की चार गुना होती है।
निर्देशांक अक्षों की दिशाओं को परिवर्तित किए बिना मूलबिंदु को (1,2,0) पर स्थानांतरित करके समीकरण को रूपांतरित कीजिए। यह नया समीकरण ? 2 + 2? 2 − 6? 2 − 2? − 8? + 3 = 0 क्या निरुपित करता है? इसका स्थूल आरेख बनाइए।
जांच कीजिए कि निम्नलिखित शांकवजों में से कौनसे शांकवज केंद्रीय हैं और कौनसे अकेंद्रीय हैं। यह भी पता कीजिए कि जो केंद्रीय शांकवज हैं उनमें से किनके केंद्र मूलबिंदु
पर है।
(i) ? 2 + ? 2 + ? 2 + 4? + 3? − ? = 0
(ii) 2? 2 − ? 2 − ? 2 + ?? + ?? − ?? = 1
(iii) ? 2 + ?2 − ? 2 − 2?? − 3?? − 6?? + ? − 2? + 5? + 4 = 0
सिद्ध कीजिए कि दो समकोण अतिपरवलय के प्रतिच्छेद बिन्दुओं से गुजरने वाला शंकु भी समकोण अतिपरवलय होता है।
समतलों और
की प्रतिच्छेद रेखा से गुजरने वाले तथा समतल
पर लंब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
मूलबिंदु की उस समतल से दूरी ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (-3,4,6) से गुजरता है। (2,1,8), (1,0,2) और
जांच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य। अपने उत्तर की पुष्टि लघु व्याख्या या प्रति-उदाहरण द्वारा कीजिए।
(i) संख्याएँ एक रेखा की दिक्कोज्याएं हैं।
ii) बिंदु (1,2), (7,6) और (4,4) संरेखीय हैं।
(iii) शांकव 12x2 + 12xy + 3y2 + 2x + y = 0 पतित है।
iv) दीर्घवृत्त का समतल वाइ = 5 से प्रतिच्छेद एक वृत्त है।
(v) शांकवज 3x2 + y² + 2xy+x-y-z+ 1 = 0 अकेंद्रीय है।
(vi) रेखा y = x परवलय y² = cx,c, > 0 की स्पर्श रेखा है।
(vii) समीकरण 2x² + y + z + 1 = 0 एक परवलज को निरूपित करता है।
(viii) किसी रेखा-खण्ड का उसकी लंब रेखा पर प्रक्षेप उस रेखा-खण्ड की लंबाई के बराबर होता है।
(ix) रेखाएं x = y, z = 2 और x = y, z = 0 परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं।
(x) बेलन का समतल परिच्छेद एक वृत्त होता है।