Reduce the following PDE to a set of three ODEs by the method of separation of variables.

Newton’s Law of Cooling states that the rate at which the object's temperature decreases is directly proportional to the difference between the temperature of the object and the ambient temperature. A cup of tea (temperature = 90°C) is placed in a room whose temperature is 30°C. After five minutes, the temperature of the tea has dropped to 70°C. After how much time would the temperature of the tea be 50°C?

Obtain all the first and second order partial derivatives of the function:

f (x, y) = sin xy

न्यूटन के शीतलन के नियम के कथन के अनुसार एक पिंड़ के तापमान के घटने का दर पिंड़ और परिवेश के तापमान के अंतर का अनुक्रमानुपाती है। एक चाय के प्याले (तापमान 90°C) को एक कमरे में रखा जाता है जिसका तापमान 30°C है। पांच मिनट के बाद चाय का तापमान घटकर 70°C हो जाता है। परिकलित करें कि कितने समय के बाद चाय का तापमान 50°C होगा।

Show that the function

i) u(x,y)=  is a solution of the two-dimensional Laplace’s equation.

ii) u(x,t)=e^{-6x cos2x} is a solution of the one-dimensional heat equation.

दिखाएं कि फलन

i)  द्विविम लाप्लास समीकरण का हल है।

ii) एकविम ऊष्मा समीकरण का हल है।

ख) निम्नलिखित फलन के सभी प्रथम और द्वितीय श्रेणी के आंशिक अवकलज प्राप्त करें :

f(x, y) = sin xy.

निम्नलिखित आंशिक अवकल समीकरण को चर पृथक्ककरण विधि द्वारा तीन साधारण अवकल समीकरणों के रूप में लिखें :