A block of mass 1 kg is attached to a spring of force constant  .It is pulled 0.3 m from its equilibrium position and released from rest. This spring‐block apparatus is submerged in a viscous fluid medium which exerts a damping force of – 4 v (where v is the instantaneous velocity of the block). Determine of the position x(t) of the block at time t. 

Solve the following ODE using the power series method:

(x+2)y"+xy'-y=0

आवर्तकाल  वाले निम्नलिखित आवर्ती फलन का फूरिए श्रेणी विस्तार प्राप्त करें :

  के लिए

न्यूटन के शीतलन के नियम के कथन के अनुसार एक पिंड़ के तापमान के घटने का दर पिंड़ और परिवेश के तापमान के अंतर का अनुक्रमानुपाती है। एक चाय के प्याले (तापमान 90°C) को एक कमरे में रखा जाता है जिसका तापमान 30°C है। पांच मिनट के बाद चाय का तापमान घटकर 70°C हो जाता है। परिकलित करें कि कितने समय के बाद चाय का तापमान 50°C होगा।

1 kg द्रव्यमान के एक पिंड को एक कमानी से जोड़ा जाता है जिसका बल गुणांक Nm ^-1 है। पिंड को साम्यावस्था से 0.3m तक खींचकर, विरामावस्था से छोड़ा जाता है। इस कमानी-पिंड निकाय को एक श्यान तरल मध्यक में निमज्जित किया जाता है, जो  -4 v का एक अवंमंदक बल लगाता है (जहां v पिंड का तात्क्षणिक वेग है)। समय t पर पिंड़ की स्थिति x(t) ज्ञात करें।

दिखाएं कि फलन

i)  द्विविम लाप्लास समीकरण का हल है।

ii) एकविम ऊष्मा समीकरण का हल है।

ख) निम्नलिखित फलन के सभी प्रथम और द्वितीय श्रेणी के आंशिक अवकलज प्राप्त करें :

f(x, y) = sin xy.

निम्नलिखित आंशिक अवकल समीकरण को चर पृथक्ककरण विधि द्वारा तीन साधारण अवकल समीकरणों के रूप में लिखें :