एक समुच्चय जो विवृत है लेकिन संवृत नहीं है।
R\mathbb{R} में निम्नलिखित समुच्चय पर विचार करें:
A=(0,1)A = (0,1)
यह समुच्चय विवृत (open) है क्योंकि इसके प्रत्येक बिंदु ______ __________ _____ _________ ________ ___ __________ ___.
________ ______ ________ ______ _____ ______ _________ ______ __________ ______ _______.
_____ __________ ____ __________ ______ ____ ____ _________ _________ ____ _____.
____ _____ _________ ________ ______ ___ _____.
_________ ______ __________ ____ ______ _______ _______ __________.
_______ ________ _________ ________ __________ ______ ____ __________ __________ ____.
__________ _____ ________ _________.
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Apply the Cauchy’s integral test to evaluate:
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं या असत्य हैं? लघु उपपत्ति या प्रति-उदाहरण जो भी उचित हो, के साथ अपने उत्तरों के कारण बताइए :
i) प्रत्येक अनंत समुच्चय एक विस्तारित समुच्चय है।
ii) का निषेध
है।
iii) - 1 अन्तराल ]-2,1] का सीमा बिन्दु है।
iv) फलन f के समाकलनीय होने के अनिवार्य प्रतिबंध है कि वह संतत हो।
v) द्वारा परिभाषित फलन
पर अवकलनीय है।
सिद्ध कीजिए कि ex cos2x = 2 के किन्हीं दो वास्तविक मूलों के बीच ex sin2x = 1 का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।
उपपत्ति या प्रति-उदाहरण जो भी उचित हो, के साथ अपने उत्तरों के कारण बताइए :
i) प्रत्येक अनंत समुच्चय एक विस्तारित समुच्चय है।
ii) का निषेध
है।
iii) - 1 अन्तराल ]-2,1] का सीमा बिन्दु है।
iv) फलन f के समाकलनीय होने के अनिवार्य प्रतिबंध है कि वह संतत हो।
v) द्वारा परिभाषित फलन
पर अवकलनीय है।
Let x and y be two real numbers such that x < y.Show that there exists an irrational number λ such that
x < λ < y.
Show that
Test the following series for convergence: