Solve your IGNOU Doubts

Question:

निम्नलिखित कथनों में कौन-कौन से कथन सत्य हैं? कारण सहित अपना उत्तर दीजिए।
(i) सदा ही F-बंटन का प्रयोग फिट की उत्तमता के लिए किया जाता है।

(ii) एक आंकड़ा समुच्चय में केन्द्रीय प्रवृत्ति का माप उस सीमा तक होता है जिसमें प्रेक्षण प्रकीर्णित होते हैं।

(iii) एक प्रक्रम को निर्दश्य कारण के अधीन तब कहा जाता है जबकि बिंदु ( $\overline{X}, R$ ) चार्ट की VCL रेखा के ऊपर होते हैं।

(iv) यादृच्छिक संख्या सारणियों का प्रयोग करके सरल यादृच्छिक प्रतिचयन किया जाता है जहाँ एक अंक निकालने की प्रायिकता $0 \cdot 1$ है।

(v) सभी काल-श्रेणियों की एक उपनति होती है।

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Question:

मान लीजिए X प्राचल $\alpha$ और $\lambda$ वाला एक गामा चर है जिसके $E(X) = 6$ और $Var(X) = 3$ हैं। $\alpha$ और $\lambda$ ज्ञात कीजिए। गामा चर का आघूर्ण जनक फलन भी ज्ञात कीजिए और इस प्रकार सिद्ध कीजिए कि आघूर्ण जनक फलन से X का माध्य 6 और X का प्रसरण 3 है।
b) एक मुहल्ले में रहने वाले वैवाहिक जोड़ों में, पति के एक स्कूल बोर्ड चुनाव में वोट देने की प्रायिकता 0.21 है, पत्नी के चुनाव में वोट देने की प्रायिकता 0.28 है और दोनों के वोट देने की प्रायिकता 0.15 है। इस बात की प्रायिकता क्या होगी कि
i) उनमें से कम से कम एक वोट देगा?

ii) उनमें से कोई भी वोट नहीं देगा?

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Question:

मान लीजिए कि X₁ एक चरघातांकी बंटन का एक प्रेक्षण है, जिसका प्रायिकता घनत्व फलन

$$f(x) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}; x > 0$

है। निराकरणीय परिकल्पना कि बंटन का माध्य $\theta = 2$ है की प्रतिकूल वैकल्पिक परिकल्पना कि माध्य $\theta = 5$ है, का परीक्षण कीजिए। निराकरणीय परिकल्पना केवल तभी स्वीकार की जाती है यदि और केवल यदि यादृच्छिक चर का प्रेक्षित मान 3 से कम हो। टाइप-I और टाइप-II त्रुटियों की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।
b) 20 पदों का माध्य और मानक विचलन क्रमशः 10 और 2 पाया गया है। जाँच करते समय यह पाया गया कि मान 8 वाला एक पद गलत है। यदि गलत पद को हटा दिया जाए तो माध्य और मानक विचलन परिकलित कीजिए।

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Question:

) किसी पुल को पार करते समय एक कार के टायर सपाट होने की प्रायिकता 0.00005 है। पुल पर करने वाली 10,000 कारों के लिए वह प्रायिकता ज्ञात कीजिए जबकि
i) ठीक 2 कारों के टायर सपाट होंगे।

ii) ज्यादा से ज्यादा 2 कारों के टायर सपाट होंगे।

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Question:

मानक विचलन 5 वाले मध्यककुदी बंटन के लिए चतुर्थ केंद्रीय आघूर्ण m₄ ज्ञात कीजिए।

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Question:

मान लीजिए कि r.v. X का प्रायिकता घनत्व फलन निम्नलिखित है :

$f(x) = \begin{cases} 1 + x, & -1 < x \le 0 \\ 1 - x, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$
और यदि $u = X$ और $v = X^2$ हो, तो Cov(u, v) ज्ञात कीजिए। u और v के स्वातंत्र्य की भी जाँच कीजिए।

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Question:

मान लीजिए कि E₁, E₂, E₃ और E₄ स्वैच्छिक घटनाएँ हैं। निम्नलिखित घटनाओं को समुच्चय संकेतनों में लिखिए:
i) E₁, E₂, E₃ और E₄ में एक से अधिक नहीं।

ii) E₁, E₂, E₃ और E₄ में से केवल एक।

iii) E₁ और कम-से-कम E₂, E₃, E₄ में से एक।

iv) E₁ के साथ E₂, E₃ और E₄ में से कोई नहीं।

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Question:

एक चर x का माध्य और मानक विचलन क्रमशः m और $\sigma$ है। $\frac{(ax + b)}{c}$ , का माध्य और मानक विचलन ज्ञात कीजिए जबकि a, b और c अचर हैं।
b) यदि एक यादृच्छिक चर X इस प्रकार है कि $E(X) = 3$ और $E(X^2) = 13$ है, तो P(-2 < X < 8) का निम्न परिबंध ज्ञात कीजिए।

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Question:

निम्नलिखित संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन लीजिए :

$$f(x, y) = y^2 e^{-y(x+1)}; x \ge 0, y \ge 0.$

क्या दोनों x और y समाश्रयण रैखिक हैं? अपने उत्तर का कारण दीजिए।

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Question:

4. एक पासे को 60 बार फेंकने से निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं :

पासे का मुख	1	2	3	4	5	6
बारम्बारता	8	7	12	8	14	11

5% सार्थकता स्तर पर परीक्षण कीजिए कि पासा अनभिनत है। दिया गया है कि 5, 6 और 7 स्वातंत्र्य कोटि के लिए $\chi^2$ के मान क्रमशः 11.070, 15.592 और 14.067 हैं।

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Question:

एक पासे को 60 बार फेंकने से निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं :

पासे का मुख	1	2	3	4	5	6
बारम्बारता	8	7	12	8	14	11

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Question:

(X, Y) पर किए गए 6 प्रेक्षणों से प्राप्त आँकड़े निम्नलिखित हैं :

$\sum X_i = 30, \sum Y_i = 180, \sum X_i Y_i = 1000,$

$\sum X_i^2 = 200, \sum Y_i^2 = 5642.$
i) X और Y के बीच सहसंबंध-गुणांक ज्ञात कीजिए।
ii) दिया गया है $X = 10$ , तब Y का प्रागुक्त मान क्या होगा?
iii) दिया गया है $Y = 15$ , तो X प्रागुक्त मान क्या होगा?

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Question:

14 वर्ष की आयु के बच्चों की एक बड़ी संख्या का माध्य I.Q. 100 और मानक विचलन 16 था। मान लीजिए कि बंटन प्रसामान्य था, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए :
i) 80 से कम I.Q. वाले बच्चों का प्रतिशत।
ii) वह सीमा जिसके लिए बीच में 40% बच्चों की I.Q. होगी।
आप निम्नलिखित मानों का प्रयोग कर सकते हैं :

$P(Z > 1.25) = 0.1056$

$P(Z < -0.525) = 0.3$

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Question:

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से असत्य? अपने उत्तर में संक्षिप्त उपपत्ति या प्रत्युदाहरण दीजिए। (10)
i) यदि X और Y के बीच सहसंबंध गुणांक -0.8 है, तो 2X - 1 और -3Y - 1 के बीच सहसंबंध गुणांक -0.48 होगा।
ii) यदि X और Y क्रमशः (n₁, p₁) और (n₂, p₂) प्राचलों वाले स्वतंत्र द्विपद चर हैं, तो X + Y प्राचल (n₁ + n₂, p₁ + p₂) वाला द्विपद बंटन होगा।
iii) $f(x) = \begin{cases} |x|, & -1 < x < 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$ द्वारा परिभाषित फलन एक प्रायिकता घनत्व फलन है।
iv) माध्य $\mu$ और प्रसरण $\sigma^2$ , वाले एक प्रसामान्य बंटन के लिए, परिकल्पनाएँ
$H_1 : \mu = \mu_0, \sigma^2 = 1$ और
$H_2 : \mu = \mu_0, \sigma^2 \ge 1$ सरल परिकल्पनाएँ हैं।
v) सरल वैकल्पिक के विरुद्ध सरल परिकल्पना के परीक्षण की समस्या में, यदि टाइप-I अशुद्धि की प्रायिकता 0.06 है, तो परीक्षण की क्षमता 0.94 होगी।

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Question:

) जाँच कीजिए कि निम्नलिखित समाकलन स्वतंत्र पथ है और जो स्वतंत्र है उनका मूल्यांकन कीजिए
i) $\int\limits_{(0,0)}^{(3,4)} (6xy - y^3) \, dx + (3x^2 - 3xy^2) \, dy$ .
ii) $\int\limits_{(-1,4)}^{(3,8)} (3x^2 - 2y^2) \, dx - 4xy \, dy$ .
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$
ख) निर्देशांकों का प्रयोग करते हुए $\iiint\limits_{S} z^2 dx \, dy \, dz$ का मूल्यांकन कीजिए जहाँ S गोले $\rho = 1$ और $\rho = 2$ के बीच ठोस प्रदेश है।

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Question:

ध्रुवीय निर्देशांकों का प्रयोग करते हुए दिखाइए कि $\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{x^3 - y^3}{x^2 + y^2} = 0$ है। दो पुनरावृत्ति सीमाएँ ज्ञात कीजिए।
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$
ख) प्रदेश D पर एक समाकल के रूप में $\int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{\sqrt{1 - x^2}} \left( \sqrt{1 - y^2} \right) dy \, dx$ लिखिए। प्रदेश D का चित्र बनाइए और दिखाएं कि यह टाईप 1 और टाईप 2 दोनों है। समाकल के क्रम को उलटिए और इसका मूल्यांकन कीजिए।

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Question:

मान लीजिए कि S और C $\mathbf{R}^3$ के उपसमुच्चय हैं। S मूल–बिन्दु पर केन्द्र वाला एकक विवृत गोलक है तथा C विवृत घन $= \{P(x, y, z) \mid -1 < x < 1, -1 < y < 1, -1 < z < 1\}$ ।
निम्नलिखित में से कौनसा कथन सत्य है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) $S \subset C$
(ii) $C \subset S$
(ग) निम्नलिखित फलनों के स्तर वक्र ज्ञात कीजिए :
(i) $\sqrt{x^2 + y^2}$
(ii) $\sqrt{4 - x^2 - y^2}$

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Question:

यदि $\lim_{x \to 0} \frac{x(1 + a \cos x) - b \sin x}{x^3} = 1$ तो a और b के मान ज्ञात कीजिए।

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Question:

$\int\limits_{C} (2x^2 + 3y^2) dx$ के मान निकालिए, जहाँ C $x(t) = at^2, y(t) = 2at, 0 \le t \le 1$ से प्राप्त वक्र है।
(ख) द्विशः समाकलन का प्रयोग करके दीर्घवृत्तज
$$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} + \frac{z^2}{16} = 1$ $
का आयतन ज्ञात कीजिए