Evaluate using Riemann integration
To evaluate $\int_{0}^{1} x^2 \, dx$ using Riemann integration, we divide the interval $[0,1]$ into $n$ equal subintervals of width $\Delta x = \frac{1-0}{n} = \frac{1}{n}$. Let the right endpoint of the $i$-th subinterval be ___ ________ _______ __________ ___ ___ _________ ______ __________ ___ __________.
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Let x and y be two real numbers such that x < y.Show that there exists an irrational number λ such that
x < λ < y.
A set which has no limit point
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं या असत्य हैं? लघु उपपत्ति या प्रति-उदाहरण जो भी उचित हो, के साथ अपने उत्तरों के कारण बताइए :
i) प्रत्येक अनंत समुच्चय एक विस्तारित समुच्चय है।
ii) का निषेध
है।
iii) - 1 अन्तराल ]-2,1] का सीमा बिन्दु है।
iv) फलन f के समाकलनीय होने के अनिवार्य प्रतिबंध है कि वह संतत हो।
v) द्वारा परिभाषित फलन
पर अवकलनीय है।
निम्नलिखित श्रेणी के अभिसरण की जाँच कीजिए :
Which of the following statements are true or false? Give reasons for your answers in the form of a short proof or counter-example, whichever is appropriate:
i) Every infinite set is an open set.
ii) The negation of p^~qis p→q.
iii) -1 is a limit point of the interval ]-2,1].
iv) The necessary condition for a function f to be integrable is that it is continuous.
The function f: R→R defined by f(x) = |x-2|+|3-x is differentiable at x = 5.
निम्नलिखित श्रेणियों के अभिसरण की जाँच कीजिए :
(i)
(ii)
Prove that a function f : S → S (where S is a finite non-empty set) is injective if it is surjective.