Find the radius of convergence of the series , where
.
Consider the power series (\sum a_n x^n) with (a_n=\dfrac{n!}{n^n}). The radius of convergence (R) is given by __________ _________ ______ _____ ________ ________ _____ _____ __________ _______.
_______ _________ _____ ____ __________ _____ _________.
______ ______ _________ _______ ______ _______ ____ ___ _____ _______.
_________ ____ _________ ______ ______ ____ ___ ____ _______.
___ __________ _______ ______ __________ ___ _____ _______.
_______ __________ _____ _________ _______ ________.
_____ _______.
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जाँच कीजिए कि अनुक्रम , जिसे इस प्रकार से परिभाषित किया जाता है:
, और
.
अभिसारी है या नहीं।
मान लीजिए कि f एक अवकलनीय फलन है, जिसका अवकलज अंतराल [a, b] पर शून्य नहीं होता। तब दिखाइए कि f या तो सर्वथा वर्धमान है अथवा सर्वथा ह्रासमान है।
समाकल परीक्षण का प्रयोग करके p − श्रेणी , जहाँ p > 0, के अभिसरण पर चर्चा कीजिए।
Disprove the statement:
by providing a suitable counter-example.
श्रेणी के अभिसरण की जाँच कीजिए।
जाँच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य। अपने उत्तर की लघु-व्याख्या या प्रति-उदाहरण द्वारा पुष्टि कीजिए।
(i) का निषेध
है।
(ii) गणनीय हैं।
(iii) समीकरण का एक वास्तविक मूल -2 और 1 के बीच है।
(iv) प्रत्येक वर्धमान अनुक्रम का एक अभिसारी उप-अनुक्रम होता है।
(v) फलन में एक अपनेय असांतत्य है।
(vi) एक समाकलनीय फलन में असांतत्य के सीमित बिंदु होते है।
(vii) श्रेणी अपसारी है।
(viii) फलन f, जो , द्वारा परिभाषित है तथा
पर परिभाषित है, का स्थानीय अधिकतम
पर हैं।
(ix) अंतराल [a, b] पर परिभाषित प्रत्येक अचर फलन रीमान समाकलनीय होता है।
(x) फलन जो
द्वारा परिभाषित है,
पर अवकलनीय है।
Using mathematical induction, prove that the sum of the squares of first 'n' natural numbers is .