Find the radius of convergence of the series , where
.
Consider the power series (\sum a_n x^n) with (a_n=\dfrac{n!}{n^n}). The radius _____ ________ ______ ___ ____ __________ _________ _____ _____.
_________ ____ __________ _________ __________ _____ _____ ___ ____ __________ ___.
_______ _______ _____ ________ ____ ______ ____ __________ ____ ____ _______ ____.
______ ___ ___ _______ ________.
_______ ________ ____ ________ __________ ______ __________.
_________ ______ _______ __________ _________.
_____ _____ ________ ______ __________ _______ _________ _________ _______.
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जाँच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य। अपने उत्तर की लघु-व्याख्या या प्रति-उदाहरण द्वारा पुष्टि कीजिए।
(i) का निषेध
है।
(ii) गणनीय हैं।
(iii) समीकरण का एक वास्तविक मूल -2 और 1 के बीच है।
(iv) प्रत्येक वर्धमान अनुक्रम का एक अभिसारी उप-अनुक्रम होता है।
(v) फलन में एक अपनेय असांतत्य है।
(vi) एक समाकलनीय फलन में असांतत्य के सीमित बिंदु होते है।
(vii) श्रेणी अपसारी है।
(viii) फलन f, जो , द्वारा परिभाषित है तथा
पर परिभाषित है, का स्थानीय अधिकतम
पर हैं।
(ix) अंतराल [a, b] पर परिभाषित प्रत्येक अचर फलन रीमान समाकलनीय होता है।
(x) फलन जो
द्वारा परिभाषित है,
पर अवकलनीय है।
उपयुक्त प्रति उदाहरण देकर इस कथन को असिद्ध कीजिए:
प्रत्येक तथा
के लिए
है।
समाकल परीक्षण का प्रयोग करके p − श्रेणी , जहाँ p > 0, के अभिसरण पर चर्चा कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि यह समुच्चय संवृत नहीं है।
Disprove the statement:
by providing a suitable counter-example.
गणितीय आगमन का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि प्रथम 'n' प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योगफल होता है।
Prove that .