Check that f(x) is well defined and 1 - 1.
We are asked to check if (f(x)) is well-defined and whether it is one-to-one. Since the equation image is not visible, I will assume the general approach for such a problem. To check if (f(x)) is well-defined: 1. Examine the domain of (f(x)). Ensure that any operations like division, square root, logarithm, or other _______ ______ ____ _______ ___ ____ _____ _________ _________ _______ ________ ____.
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) Which of the following statements are true and which are false? Justify your answer with a short proof or a counterexample.
i) The function defined by
is 1-1.
ii) The operation $ defined byx y = \log(xy)is a binary operation onS, whereSis the set\{x \in \mathbf{R} \mid x > 0\}$.
iii) The set is a subspace of
.
iv) There is no matrix of rank 6.
v) If V and V' are vector spaces and is a linear transformation, then whenever
are linearly independent,
are also linearly independent.
vi) If V is a vector space and is a linear operator with
, then T is not diagonalisable.
vii) The degree of the minimal polynomial of a matrix is at most 2.
viii) For any matrix A,
.
ix) The only matrix which is both symmetric and skew-symmetric is the zero matrix.
x) There is no co-ordinate transformation that transforms the quadratic form x2 + y2 + z2 to the quadratic form xz + yz.
Find the orthogonal canonical reduction of the quadratic form x2 - 2y2 + z2 + 2xy + 6yz and its principal axes. Also, find the rank and signature of the quadratic form.
Consider the function defined by
.
निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं और कौन से असत्य हैं? लघु उपपत्ति या प्रति उदाहरण के साथ अपनी उत्तर की पुष्टि कीजिए।
i) द्वारा परिभाषित फलन
, 1-1 है।
ii) द्वारा परिभाषित संक्रिया S पर द्वि-आधारी संक्रिया है जहाँ S समुच्चय
है।
iii) समुच्चय
की उपसमष्टि है।
iv) जाति 6 का कोई आव्यूह नहीं होता।
v) यदि V और V' सदिश समष्टियाँ हैं और रैखिक रूपांतरण है, तब जब भी
रैखिकता: स्वतंत्र होते हैं, तब
भी रैखिकता: स्वतंत्र होते हैं।
vi) यदि V एक सदिश समष्टि है और वाला रैखिक सँकारक है, तब T विकर्णीय नहीं होता।
vii) एक आव्यूह के अल्पिष्ठ बहुपद की कोटि अधिकतम 2 है।
viii)कोई भी आव्यूह A के लिए
।
ix) केवल शून्य आव्यूह ऐसा आव्यूह है जो सममित और विषम सममित दोनों होता है।
x) कोई भी ऐसा निर्देशांक रूपांतरण नहीं है जो द्विघाती समघात x2 + y2 + z2 को द्विघाती समघात xz + yz में रूपांतरित करता है।
For the following matrices, check whether there exists an invertible matrix P such that P-1AP is diagonal. When such a P exists, find P.
i)
Find the solutions to the following system of equations by reducing the corresponding augmented matrix to row-reduced echelon form.
Check that f(x) is well defined and 1 - 1.