के सभी मात्रकों को ज्ञात कीजिए।
Abstract Algebra गणित की एक प्रमुख शाखा है, जिसमें बीजगणितीय संरचनाओं का अध्ययन किया जाता है। इसके मुख्य मात्रक निम्नलिखित हैं:
1. समूह (Group) – एक सेट और एक द्विआधारी संक्रिया से बना होता है, जो संयोजकता (Associativity), पहचान तत्व (Identity Element) और व्युत्क्रम तत्व ______ ______ ___ ______ __________ ________ _________ ______ ___.
______ ___ _______ __________ __________ __________ _________ __________ _________.
_________ _________ _________ _______ ____ _________ ____ _________ ___ _____.
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सिद्ध कीजिए कि वलयों के रूप में,
समुच्चय पर विचार कीजिए। X पर ∗ को
द्वारा परिभाषित कीजिए।
i) जाँच कीजिए कि (X,*) एक समूह है या नहीं।
ii) सिद्ध कीजिए कि x*x*x*...*x (n बार) =
मान लीजिए कि तथा
और
i) दर्शाइए कि M, R की एक गुणजावली है।
ii) दर्शाइए कि यदि 5/ a या 5/b, तो 5/ (a²+b²), जहां a,
अत, दर्शाइए कि यदि N. R की एक ऐसी गुणजावली है जिसका M एक उचित उपसमुच्चय है, तो N = R होगा।
iv) दर्शाइए कि एक क्षेत्र है, तथा इस क्षेत्र के दो अलग-अलग शून्येतर अवयव दीजिए।
द्वारा
पर एक संबंध R परिभाषित कीजिए। जाँच कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है या नहीं। यदि है, तो सभी अलग-अलग तुल्यता वर्ग ज्ञात कीजिए। यदि R. एक तुल्यता संबंध नहीं है, तो
पर एक तुल्यता संबंध परिभाषित कीजिए।
के सभी मात्रकों को ज्ञात कीजिए।
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य है? अपने उत्तरों की पुष्टि कीजिए। (इसका अर्थ है कि यदि आप सोचते हैं कि कोई कथन असत्य है, तो एक संक्षिप्त उपपत्ति या एक उदाहरण ऐसा दीजिए जो उसे असल्य दर्शाए। यदि यह एक सत्य कथन है, तो तो ऐसा कहने। ऐसा कहने के लिए एक संक्षिप्त उपपत्ति दीजिए।)
(i) जहाँ φ के ऑयलर-फाई फलन है।
ii) यदि G1, और G2, समूह हैं, तथा f:G1, G2, एक समूह समाकारिता है, तो ० (G₁)=o(G₂) होगा।
iii) यदि G एक आबेली समूह है, तो G चक्रीय होगा।
iv) यदि G एक समूह है तथा तो | G:H|= 2 होता है।
v) Sn के प्रत्येक अवयव की कोटि ज़्यादा से ज़्यादा होती है।
vi) यदि R एक वलय है तथा R की एक गुणजावली 1 है, तो और
vii) यदि सम संख्या में असंयुक्त चक्रों का गुणनफल है, तो sign(Q) = 1 होता है।
viii) यदि किसी वलय का एक मात्रक है, तो उसका केवल एक ही मात्रक होता है।
ix) परिमित क्षेत्र का अभिलक्षणिक शून्य होता है।
x) [0, 1] से R तक असंतत फलनों का समुच्चय बिंदुशः योग और गुणन के सापेक्ष एक वलय होता है।
Explicitly give the elements and structure of the group Sn/An, n ≥5.