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इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि वलय \(\frac{\mathbb{R}[x]}{\langle x^2 + 1 \rangle}\) और \(\mathbb{C}\) समावयवी (isomorphic) हैं। ### चरण 1: वलय \(\frac{\mathbb{R}[x]}{\langle x^2+1 \rangle}\) की परिभाषा वलय \(\mathbb{R}[x]\) बहुपदों का वलय है, जिसमें गुणांक \(\mathbb{R}\) से लिए जाते हैं। आदर्श: \(\langle x^2 + 1 \rangle\) वह आदर्श है, जिसमें सभी बहुपद आते हैं जो \(x^2 + 1\) से विभाज्य होते हैं। अर्थात्, इसमें वे सभी बहुपद हैं जो \(x^2 + 1\) के गुणज के रूप में लिखे जा सकते हैं। भागफल वलय: \(\frac{\mathbb{R}[x]}{\langle x^2+1 \rangle}\) वह वलय है, जिसमें दो बहुपद समकक्ष होंगे यदि उनका अंतर \(x^2 + 1\) से विभाज्य हो। ### चरण 2: तत्वों की पहचान इस भागफल ____ ____ ________ _____ ______ ______ ________ ______.
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