वह न्यूनतम दीजिए जिसके लिए An अनाबेली है। अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
यदि (A_n) एक अनाबेली (Arithmetic Progression, AP) है, तो उसके हर पद के बीच का अंतर स्थिर होता है। इसे (d) कहते हैं। मान लें (A_1) पहला पद है। तो AP के सामान्य रूप में: [ A_n = A_1 + (n-1)d ] यहां (A_n) का (n)-वें पद का मान (A_1) और सामान्य अंतर (d) पर निर्भर करता है। अब, AP की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि किसी भी तीन लगातार __________ __________ __________ _______ _________ _________ _________ ________ __________ ______.
________ ____ ____ _________ _______ __________ ___ ______ ___ ________ ______ ________.
_____ ________ _____ ___ ____ ________.
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निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से असत्य हैं? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
i) किसी भी वलय R और के लिए,
।
ii) किसी भी वलय में कम-से-कम दो अवयव होते हैं।
iii) यदि R एक तत्समकी वलय है और I, R की एक गुणजावली है, तो R/I का तत्समक वही होता है जो कि R का तत्समक है।
iv) यदि एक वलय समाकारिता है, तो यह (R, +) से (S, +) तक एक समूह समाकारिता है।
v) यदि R एक वलय है, तो से R तक कोई भी वलय समाकारिता आच्छादक होता है।
क) क्रमविनिमेय वलय R की गुणजावली I के लिए,, किसी
के लिए परिभाषित कीजिए। दिखाइए कि
यहाँ चित्र में दिए गए टेक्स्ट का लिखित रूप है:
i) की एक गुणजावली है।
ii) .
iii) कुछ स्थितियों में
।
ख) क्या वलय R की कोई भी दो गुणजावलियों I और J के लिए,
? अपने
उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(5)
सिद्ध कीजिए कि चक्रीय समूह के प्रत्येक अतुच्छ उपसमूह का परिमित सूचकांक होता है। इस तरह सिद्ध कीजिए कि चक्रीय नहीं है
Is , for any two ideals I and J of a ring R? Give reasons for your answer. Let S be a set, R a ring and f be a 1-1 mapping of S onto R. Define + and
on S by:
.
Show that is a ring isomorphic to R.
वह न्यूनतम दीजिए जिसके लिए An अनाबेली है। अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
For an ideal I of a commutative ring R, define. Show that
i) is an ideal of R.
ii) .
iii) in some cases.
Use the Fundamental Theorem of Homomorphism for Groups to prove the following theorem, which is called the Zassenhaus (Butterfly) Lemma:
Let H and K be subgroups of a group G and H' and K' be normal subgroups of H and K, respectively. Then
i)
ii)
iii)
The situation can be represented by the subgroup diagram below, which explains the name ‘butterfly’.
PART-B (MM: 30 Marks)
(Based on Block 3.)