Give the smallest for which An is non-abelian. Justify your answer.
The alternating group (A_n) consists of all even permutations of (n) elements. For a group to be non-abelian, there must exist at least __________ _______ _________ _____ ________.
____ _______ ____ _________ ________ ______ _____ _____ _______ _______ ___.
________ ____ _________ ________ ___ ______ _____ ____ ___.
_________ __________ ___ _______ __________.
__________ _________ __________ ______ ___ ________ ______ ________.
_______ _____ ___ ________ __________ _______ ________ __________ __________ _____ _______ _______.
______ ________ _____ _____ ________ ________ __________ _____ ________ _______.
__________ ______ _________ _______ ______ ________ ____ _____.
______ ___ __________ _____ _________ ____ _____ _________ ____ _________.
_____ ____ _______ _________ __________ _________ ____ _________ ________ ___ ___ _______.
_____ ___ __________ _______ _______ ________.
__________ ____ ________ ________ ______ _______ __________ _____ _____ _______ ______.
________ ____ _______ ____ ___ _________.
______ _____ _____.
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. निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं? अपने उत्तरों की पुष्टि कीजिए।
i) यदि एक समूह G अपने किसी उचित उपसमूह के तुल्याकारी है, तो ।
ii) यदि x और y एक अना-बेली समूह (G, ) के ऐसे अवयव हैं जिनके लिए , तो
या
, जहाँ e, के सापेक्ष G का तत्समक है।
iii) अभाज्य कोटि वाला एक और केवल एक अनाबेली समूह है।
iv) यदि , जहाँ A एक समूह है, तो
।
v) यदि H और K समूह G के प्रसामान्य उपसमूह हैं, तो ।
For an ideal I of a commutative ring R, define. Show that
i) is an ideal of R.
ii) .
iii) in some cases.
निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से असत्य हैं? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
i) किसी भी वलय R और के लिए,
।
ii) किसी भी वलय में कम-से-कम दो अवयव होते हैं।
iii) यदि R एक तत्समकी वलय है और I, R की एक गुणजावली है, तो R/I का तत्समक वही होता है जो कि R का तत्समक है।
iv) यदि एक वलय समाकारिता है, तो यह (R, +) से (S, +) तक एक समूह समाकारिता है।
v) यदि R एक वलय है, तो से R तक कोई भी वलय समाकारिता आच्छादक होता है।
सिद्ध कीजिए कि चक्रीय समूह के प्रत्येक अतुच्छ उपसमूह का परिमित सूचकांक होता है। इस तरह सिद्ध कीजिए कि चक्रीय नहीं है
सिद्ध कीजिए कि केवल एक जनक वाले चक्रीय समूह के अधिक से अधिक 2 अवयव हो सकते हैं।
क) क्रमविनिमेय वलय R की गुणजावली I के लिए,, किसी
के लिए परिभाषित कीजिए। दिखाइए कि
यहाँ चित्र में दिए गए टेक्स्ट का लिखित रूप है:
i) की एक गुणजावली है।
ii) .
iii) कुछ स्थितियों में
।
ख) क्या वलय R की कोई भी दो गुणजावलियों I और J के लिए,
? अपने
उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(5)
Use the Fundamental Theorem of Homomorphism for Groups to prove the following theorem, which is called the Zassenhaus (Butterfly) Lemma:
Let H and K be subgroups of a group G and H' and K' be normal subgroups of H and K, respectively. Then
i)
ii)
iii)
The situation can be represented by the subgroup diagram below, which explains the name ‘butterfly’.
PART-B (MM: 30 Marks)
(Based on Block 3.)