निम्नलिखित आंशिक अवकल समीकरण को चर पृथक्ककरण विधि द्वारा तीन साधारण अवकल समीकरणों के रूप में लिखें :

आंशिक अवकल समीकरण (Partial Differential Equation, PDE) को तीन साधारण अवकल समीकरणों (Ordinary Differential Equations, ODEs) के रूप में लिखने के लिए हम चर पृथक्करण विधि (Separation of Variables Method) का प्रयोग करते हैं। 

मान लीजिए हमें निम्नलिखित आंशिक अवकल समीकरण दिया गया है:

\[
\frac{\partial u}{\partial t} = D \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \right)
\]

यह एक सामान्य रूप में तापीय प्रसार (Heat Conduction) से संबंधित आंशिक अवकल समीकरण हो सकता है, जहां \( u(x,t) \) तापमान को \( x \) और \( t \) के संदर्भ में व्यक्त करता है, और \( D \) प्रसार गुणांक है। अब हम इसे चर पृथक्करण विधि से हल करेंगे।

### चरण 1: मान्यताएँ और पृथक्करण
चर पृथक्करण विधि में हम यह मानते हैं कि समाधान को दो भागों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
\[
u(x,t) ___ ________ ____ _______ ___ __________ _____.
_________ _________ ________ ______ _____ __________ _________ __________.
____ ____ _______ _____ __________ __________ ______ _______ __________ ____.
________ ___ _________ _____ ______ _____ ___ __________ _______.
_____ _______ __________ ________ _____ _____ _______ ___.
_____ __________ ____ ________ ______ ________.
______ _____ _________ ____ _____ _____ _______ ___.
___ ______ ______ _________ ____ _______ ______ _____.
______ ______ __________ ______ ________ __________ ________ _____ ____.
__________ ________ _____ _____ _______ _________ _______ ____ _____ _______ ______.
________ _______ __________ _______ __________ ________ _______ __________ ___ __________.
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_____ ___ _________ ___ ___ __________ ___ ________.
__________ ____ _______ _____ ________ _______ _________ _________ _____ _______ _______.
______ _____ __________ __________ ________.
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________ ________ _________ ___ ____ ___ ____ _________ _____ ______.
____ ___ _______ __________ __________ ____ ______ ___ _____.
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______ _____ ____ _________ __________ _____ _________ __________ _____ ___ _______.
___ ______ ______ ____ _______ _________ ______.
______ _________ ____ _________ ________ _______ _______.
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