दिखाइए कि यदि A वास्तविक प्रविष्टियों वाला nXn आव्यूह है तब एक ऐसा mXn सममित आव्यूह S और nXn विषम सममित आव्यूह S' हैं जिसके लिए A= S + S'.
यह सवाल दर्शाता है कि एक वास्तविक प्रविष्टियों वाला \( n \times n \) आव्यूह \( A \) को दो आव्यूहों, \( S \) (सममित) और \( S' \) (विषम सममित) के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसे हल करने के लिए, हम पहले सममित और विषम सममित आव्यूहों की परिभाषाएँ समझते हैं: ___ ____ ________ ____ __________ ______ _________ ___ ___ ________ ________.
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Check that S is a linearly independent set over R. (Hint: Consider the equation
मान लीजिए W = [S] और मान लीजिए द्वारा परिभाषित फलन है। जाँच कीजिए कि T,V पर रैखिक रूपांतरण है।
Check that (fog)(x) = x for x ∈ R \{2} and (gof) (x) = x for x ∈ R \{-1
मान लीजिए व ऐसे सभी फलनो का समुच्चय है जो R में दो बार अवकलनीय हैं और ऍस =
Apply the Gram-Schmidt diagonalisation process to find an orthonormal basis for the subspace of C4 generated by the vectors
दिखाइए कि यदि A वास्तविक प्रविष्टियों वाला nXn आव्यूह है तब एक ऐसा mXn सममित आव्यूह S और nXn विषम सममित आव्यूह S' हैं जिसके लिए A= S + S'.
निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं और कौन से असत्य हैं? लुघ उप्पत्ति या प्रति उदाहरण के साथ अपनी उत्तर की पुष्टि कीजिए।
i)f (x) = cos x द्वारा परिभाषित फलन है।
ii) x*y =log(xy) द्वारा परिभाषित संक्रिया S पर द्वि-आघारी संक्रिया है जहाँ S समुच्चय है।
iii)समुच्चय ((x₁, x2, ..., xn) 1,x1, x2..., xn∈ R,x₁ = 2x2+3) R" की उपसमष्टि है।
iv) जाति 6 का कोई 7x5 आव्यूह नहीं होता।
v) यदि V और V सदिश समष्टियाँ हैं और रैखिक रूपातंरण है, तब जब भी u1, u2,..., uk रैखिकतः स्वतंत्र होते हैं, तब Tu1,Tu2,..., Tukभी रैखिकतः स्वतंत्र होते हैं।
vi) यदि V एक सदिश समष्टि है और वाला रैखिक सँकारक है, तब T विकर्णनीय नहीं होता।
vii) एक 3x3 आव्यूह के अल्पिष्ठ बहुपद की कोटि अधिकतम 2 है।
viii) कोई भी 2x2 आव्यूह A के लिए
ix) केवल शून्य आव्यूह ऐसा आव्यूह है जो सममित और विषम सममित दोनों होता है।
x) कोई भी ऐसा निर्देशांक रूपांतरण नहीं है जो द्विघाती समघात x² + y² +z² को द्विघाती समघात xz + yz में रूपांतरित करता है।