उपयुक्त प्रति उदाहरण देकर इस कथन को असिद्ध कीजिए:
प्रत्येक तथा
के लिए
है।
यह कथन कि प्रत्येक सतत फलन अवकलनीय होता है, असत्य है। इसे उपयुक्त प्रति-उदाहरण से असिद्ध किया जा सकता ________ ___ _____ ___ _____ __________ _____ _____ _____.
_____ _______ ____ _______ _____.
____ ______ _________ ____ _________ ____ _______ _____.
________ _____ __________ ________ ______ _________ ______ ____ __________ ___ _________ ______.
__________ _____ __________ ______ ____ ___ _________ _________.
____ __________ ____ _________ __________ ________.
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Prove that every convergent sequence is Cauchy.
श्रेणी के अभिसरण की जाँच कीजिए।
निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए एक - एक उदाहरण दीजिए। अपने उत्तर का कारण बताइए।
i. एक ऐसा समुच्चय जो न तो विवृत है और न संवृत है।
ii. एक ऐसा समुच्चय जिसका कोई सीमा बिंदु नहीं है।
State Cauchy’s second theorem on limits. Use it to show that:
Show that the function defined as
is continuous on its domain, but not uniformly continuous there. Will the function be uniformly continuous on
for any fixed c > 0?
फलन f की पर असांतत्य के प्रकार की जाँच कीजिए, जहाँ
है।
मान लीजिए कि f एक अवकलनीय फलन है, जिसका अवकलज अंतराल [a, b] पर शून्य नहीं होता। तब दिखाइए कि f या तो सर्वथा वर्धमान है अथवा सर्वथा ह्रासमान है।