For any natural numbers n and k, prove that . 

Write an algorithm that computes the sum of the squares of all the odd integers lying between two given numbers p and q, where . 

A die is rolled twice and the sum of the numbers that appear is observed. What is the probability that the sum is either a perfect square or a perfect cube? 

If 5 points are chosen in a square of side 2cm, show that there will always be two points at a distance of at most cm. 

A bank pays you  interest per year. In addition, you receive Rs. 100 as bonus at the end of the year (after the interest is paid). Find a recurrence for the amount of money after n years if you invest Rs. 2000. 

If the solution of the recurrence relation  is , then determine the values of  and f(n). 

Write down the converse of each of the following statements: 

i. If p is a prime number and a and b are any two natural numbers and if p divides a or b, then p divides ab.

ii. In a triangle , if , then .

What is the probability of selecting 2 red and 3 green balls from a bag containing 4 red balls and 8 green balls? 

If p and q are any statements, show that the statement

 is a tautology. 

Consider the propositions ‘’ and 'The Sun rises in the West'.

i. Write the disjunction of the statements and give its truth value.

ii. Write the conjunction of the statements and give its truth value.

iii. Write the exclusive disjunction of the statements and give its truth value. 

Which of the following statements are true and which are false? Give reasons for your answer. 
(i) ‘x² + y² - 3 is not divisible by 4.’ is a mathematical statement.
(ii) The number of onto functions from  to  is 4!S₆⁴.
(iii) The generating function associated with a sequence can never be a polynomial.
(iv) .
(v) Selection sort is faster than insertion sort in worst case.
(vi) , where n is a power of 2, is a linear recurrence relation.
(vii) The generating function of the sequence  is (1 - z)^-2.
(viii) If g(x) is the generating function for , then (1 - x)g(x) is the generating function for the sequence  where .
(ix) The number of partitions of 10 with no part larger than 5 is Q₁₀⁵.
(x) The number of integer solutions of the equation  in positive integers is .

दिल्ली की चार-पहिया गाड़ियों की संख्या पट्टिका सामान्यतया DL3AXC4126 जैसे दिखती है, जिसके प्रथम दो अक्षर DL नियत होते हैं, तीसरा अक्षर एक अंक होता है, और अगले तीन अक्षर अंग्रेजी के अक्षर हैं, और अंत के चार अक्षर अंक हैं। इस पैटर्न के साथ दिल्ली में कितनी संख्या पट्टिकाएँ पंजीकृत की जा सकती हैं? 

विभाजन  का फेरर ग्राफ बनाइए। साथ ही, इस विभाजन का संयुग्मी विभाजन लिखिए। 

बैल संख्याएँ B₆ और B₇ ज्ञात कीजिए। 

प्रारम्भिक प्रतिबंधों  के साथ, पुनरावृत्ति संबंध  का जनक फलन ज्ञात कीजिए।

120 लोगों के एक सर्वेक्षण में निम्नलिखित आंकड़े प्राप्त हुए:

90 लोगों के पास कार है, 35 के पास कंप्यूटर है, 40 के पास घर है, 32 के पास घर और कार दोनों हैं, 21 के पास घर और कंप्यूटर दोनों हैं, 26 के पास कार और कंप्यूटर दोनों हैं, और 17 लोगों के पास ये तीनों सुविधाएँ हैं।

i) कितने लोगों के पास इन तीनों में से कोई भी सुविधा नहीं है?

ii) कितने लोगों के पास केवल कार है?

iii) कितने लोगों के पास केवल कंप्यूटर है? 

0 से 999 (0 और 999 दोनों को शामिल करके) तक की संख्याओं में से कितनी संख्याएँ 7 या 11 से विभाजित नहीं होती हैं?

विलय शाटन कलन-विधि की काल जटिलता ज्ञात कीजिए। 

सर्वसमिका

को जनक फलनों के प्रयोग से हल कीजिए। 

अचर गुणांकों वाले एक रैखिक समघात पुनरावृत्ति संबंध का व्यापक हल ज्ञात कीजिए जिसके अभिलक्षणिक मूल 4, -2 और 3 हैं, और बहुकताएँ क्रमशः 2, 1, और 3 हैं। संबंध का एक असमघात भाग भी है जो 3ⁿ और 4ⁿ का एकघात संचय है।