Define a relation R on Z, by R = {(n, n+3k)|k∈ Z}.Check whether R is an equivalence relation or not. If it is, find all the distinct equivalence classes. If R is not an equivalence relation, define an equivalence relation on Z.

Which of the following statements are true? Justify your answers. (This means that if you think a statement is false, give a short proof or an example that shows it is false. If it is true, give a short proof for saying so.)

i) (n) = n-1∀n ∈ N, where o is the Euler-phi function.

ii) If G₁ and G₂ are groups, and f: G₁→ G₂ is a group homomorphism, then 2 o(G₁) = 0(G2).

If G is an abelian group, then G is cyclic.

iv) If G is a group and HAG, then | G: H=2.

v) Every element of S has order at most n.

vi) If R is a ring and I is an ideal of R, then xr = rx ∀ x ∈ I and re R.

vii) If σε S_n(n ≥3) is a product of an even number of disjoint cycles, then sign (σ)=1.

viii) If a ring has a unit, then it has only one unit.

ix) The characteristic of a finite field is zero.

x) The set of discontinuous functions from [0, 1] to R form a ring with respect to point- wise addition and multiplication.

समीकरण 12? ² − 2? ² + ? 2 = 2?y को रूपांतरित कीजिए, यदि मूलबिंदु को स्थिर रखा जाए और अक्षों को इस प्रकार घुमाया जाए कि नए अक्षों के दिक-अनुपात 1,-3,0;3,1,0,0,0,1 हों।

जांच कीजिए कि निम्नलिखित शांकवजों में से कौनसे शांकवज केंद्रीय हैं और कौनसे अकेंद्रीय हैं। यह भी पता कीजिए कि जो केंद्रीय शांकवज हैं उनमें से किनके केंद्र मूलबिंदु

पर है।

(i) ? ² + ? ² + ? ² + 4? + 3? − ? = 0

(ii) 2? ² − ? ² − ? ² + ?? + ?? − ?? = 1

(iii) ? ² + ?² − ? ² − 2?? − 3?? − 6?? + ? − 2? + 5? + 4 = 0

दिखाइए कि शांकवज  केंद्रीय है। अतः इसका केंद्र निकालिए।

निर्देशांक अक्षों की दिशाओं को परिवर्तित किए बिना मूलबिंदु को (1,2,0) पर स्थानांतरित करके समीकरण  को रूपांतरित कीजिए। यह नया समीकरण ? ² + 2? ² − 6? ² − 2? − 8? + 3 = 0 क्या निरुपित करता है? इसका स्थूल आरेख बनाइए।

दिखाइए कि शंकु ? ² − ? ² + 5? ² + 4?? = 0 के स्पर्श तलों पर मूलबिंदु से डाले गए लंब शंकु ?² − ? ² + ? ² + 4?? = 0 पर स्थित हैं।

उस बेलन का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका आधार ? 2 + ? 2 + ? 2 − 3? − 6? + 9 = 0, ? − 2? + 2? − 6 = 0

शंकु  तथा समतल ? + 2? + 3? = 0 की प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। 

समतल को (3,-1,-1) पर स्पर्श करने वाले तथा गोले को लांबिकतः प्रतिच्छेद करने वाले गोले का समीकरण ज्ञात कीजिए।

दिखाइए कि समतल 2x +y 2z=0गोले  का स्पर्श तल है। 

मूलबिंदु की उस समतल से दूरी ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (-3,4,6) से गुजरता है। (2,1,8), (1,0,2) और

समतलों और  की प्रतिच्छेद रेखा से गुजरने वाले तथा समतल पर लंब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

बिंदु (1,3,4) से गुजरने वाली तथा बिंदुओं (-4,5,3) और (8,9,7) को मिलाने वाली रेखा के समांतर रेखा के समीकरण ज्ञात कीजिए। 

सिद्ध कीजिए कि किसी परवलय की नाभि से गुजरने वाली तथा उस परवलय की अक्ष से 30° पर झुकी हुई जीवा की लंबाई, उस परवलय की नाभिलंब की लंबाई की चार गुना होती है।

दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता, नाभियां, केंद्र और नियताएं ज्ञात कीजिए। इसका स्थूल चित्र भी बनाइए

सिद्ध कीजिए कि (x₁,y₁) और (x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा के समीकरण वाइ  के रूप में लिखा जा सकता है। को एक्स1 एक्स2 य2 1 

 दिखाइए कि वाइ बिंदुओं (2,3) और (-4,7) से गुजरने वाली -4 7  रेखा को निरूपित करता है। (2)

मान लीजिए P बिंदुओं  और  को मिलाने वाले रेखा-खण्ड का मध्य-बिंदु है। P और Q से गुजरने वाली रेखा की प्रवणता निकालिए। a और b  पर किन प्रतिबंधों के अधीन यह रेखा y-अक्ष के समांतर होगी?

दिखाइए कि रेखा x = y शांकव x² + ax² +2hxy+by² + 2gx + 2fy + c = 0 को स्पर्श करेगी, यदि  f+g=o  हो।