के मान निकालिए, जहाँ
से प्राप्त वक्र है।
फलन से परिभाषित फलन f का प्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए। इस फलन के दो स्तर वक्र भी ज्ञात कीजिए।
f(x, y) = (x² - y², 2xy) द्वारा परिभाषित फलन ƒ की (1,-1) पर स्थानीय व्युत्क्रमणीयता की जाँच कीजिए। फलन ƒ के लिए एक प्रांत ज्ञात कीजिए जिसमें f व्युत्क्रमणीय है।
See Answer →अस्पष्ट फलन प्रमेय की सहायता से यह दिखाइए कि 1 के प्रतिवेश में एक ऐसा अवकलनीय फलन g होता है, जिससे कि (2,1) के प्रतिवेश में g (1) = 2 और F(g(y), y) = 0 जहाँ
से फलन F परिभाषित है। g' (y) भी ज्ञात कीजिए।
R 2के एक विवृत उपसमुच्चय D पर दो अवकलनीय फलनों f और g की फलनक आश्रितता का आवश्यक प्रतिबंध बताने वाले प्रमेय का कथन दीजिए। निम्नलिखित फलनों f तथा g द्वारा परिभाषित इस प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
पृष्ठ x²+2y² = 1 पर फलन f(x, y) = x² + y के चरम मान ज्ञात कीजिए।
See Answer →ग्रीन प्रमेय का कथन दीजिए और इसकी सहायता से
का मान निकालिए, जहाँ C, दीर्घवृत्त
है।
z = 1 और 2 = x² + y² से परिबद्ध ठोस घनाकृति का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि घनत्व फलन्, 8(x, y, z) = |x| हो।
See Answer →वक्रों y = 4x² और x = 4 से परिबद्ध और (x, y) = y के घनत्व वाले एक पतली शीट का गुरुत्व केन्द्र ज्ञात कीजिए।
मान लीजिए के तीन बिन्दु हैं।
ज्ञात कीजिए।
मान लीजिए और f x और y का एक संततः अवकलनीय फलन है जिसके आंशिक अवकलज भी संततः अवकलनीय हैं। दिखाइए कि
केवल परिभाषाओं को लागू करके और
ज्ञात कीजिए, जबकि फलन
अन्यथा
के लिए इनका अस्तित्व होता हो।
See Answer →बिन्दु (1,2) पर फलन का तृतीय टेलर बहुपद ज्ञात कीजिए।
बताइए निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों के कारण बताइए।
(i)
(ii) तीन चरों वाला एक वास्तविक मान फलन, जो सर्वत्र संतत है, अवकलनीय होता है।
(iii) से परिभाषित फलन
किसी भी बिन्दु
पर स्थानिकतः व्युत्क्रमणीय होता है।
(iv)
से परिभाषित फलन f: समाकलनीय होता है।
(v) से परिभाषित फलन
का (0,0) पर एक चरम मान होता है।
Which of the following statements are true and which are false? Justify your answer with a short proof or a counterexample
i) If ?1 and ?2 are proper subspaces of a non-zero, finite dimensional, vector space ? and
ii) If ? is a vector space and is such that ?? ≠ ?? if ? ≠ ?, then S
is a linearly independent set
iii) ? are linear operators on a finite dimensional vector space ? and ?1 ∘ ?2 is invertible, ?2 ∘ ?1 is also invertibl
iv) If an ? × ? square matrix, ? ≥ 2 is diagonalisable then it has the same minimal polynomial and characteristic polynomial
v) If ?1 , ?2 ∶ ? → ? are self adjoint operators on a finite dimensional inner product space ?, then ?1 + ?2 is also a self adjoint operator.
See Answer →Find the orthogonal canonical reduction of the quadratic form Also, find its principal axes.
represent the coordinates with respect to the bases
find the representation of ? in terms of (?1 , ?2 , ?3).
See Answer →