ऍक्स के वे मान ज्ञात कीजिए जिन के लिए श्रेणी

अभिसरित होती है।

रीमान समाकलन से  परिकलित कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि फलनों का अनुक्रम {f_n} जहाँ

सिद्ध कीजिए :

) मान लीजिए   

जाँच की f, [-1,1] पर एकसमान सांतत्य है या नहीं।

 त्रिज्या    जहाँ  की अभिसरण त्रिज्या ज्ञात कीजिए I

) समुच्चय x∈ [0,2] और n∈ , के लिए  लीजिए। अनुक्रम  का ॲन् सीमा फलन 'f' ज्ञात कीजिए। क्या f संतत है? जाँच कीजिए कि  और  समान हैं या नहीं। 

 कॉशी समाकल परीक्षण द्वारा निम्नलिखित मूल्यांकन कीजिए :

सिद्ध कीजिए कि e^x cos2x = 2 के किन्हीं दो वास्तविक मूलों के बीच e^x sin2x = 1 का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।

ख) मान लीजिए 

द्वारा परिभाषित फलन है। दिखाइए कि  पर संतत है लेकिन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।

मान लीजिए कि ऍक्स और वाइ दो वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि x < y है। ऐसी एक अपरिमेय संख्या  मालूम कीजिए जिस के लिए निम्नलिखित होता है।

x <  < y

निम्नलिखित कथन तथा उनके निषेध को तर्कसंगत प्रमात्रकों का प्रयोग करते हुए आप किस प्रकार प्रस्तुत करेंगे? निषेध को शब्दों में भी दीजिए।

दिखाइए कि प्रत्येक [a,∞) एक विवृत समुच्चय है।

 एक उचित प्रति-उदाहरण देते हुए निम्नलिखित कथन को असिद्ध कीजिए :

ग) समुच्चय  का उच्चक और निम्नक ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि फलन फ: ऍस ऍस (जहाँ S परिमित अरिक्त समुच्चय है) एकैकी है, यदि यह आच्छादी है।

 निम्नलिखित श्रेणी के अभिसरण की जाँच कीजिए :

दिखाइए कि समुच्चय :

विवृत नहीं है।

 कॉशी अनुक्रम को परिभाषित कीजिए। सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम  , जहाँ    कॉशी है।

 निम्नलिखित श्रेणियों के अभिसरण की जाँच कीजिए :

(i)  

(ii)  

 उपपत्ति या प्रति-उदाहरण जो भी उचित हो, के साथ अपने उत्तरों के कारण बताइए :

i) प्रत्येक अनंत समुच्चय एक विस्तारित समुच्चय है।

ii)  का निषेध  है।

iii) - 1 अन्तराल ]-2,1] का सीमा बिन्दु है।

iv) फलन f के समाकलनीय होने के अनिवार्य प्रतिबंध है कि वह संतत हो।

v)  द्वारा परिभाषित फलन  पर अवकलनीय है।

Name some alternative power generating processes in case of a disaster.