Using Cayley’s theorem, find the permutation group to which a cyclic group of order 12 is isomorphic.

 Evaluate  where c is the circle .

Prove that a cyclic group with only one generator can have at most 2 elements.

Find all the singularities of the function 

 Prove that every non-trivial subgroup of a cyclic group has finite index. Hence prove that  is not cyclic. 

 Find the constant c such that  can be extended to be analytic at , when  is fixed.

Prove that every non-trivial subgroup of a cyclic group has finite index. Hence prove that  is not cyclic. 

Find all solutions to the equation .

If , then show that there exists a real R > 0 such that  for .

 Which of the following statements are true? Give reasons for your answers. 
i) If a group G is isomorphic to one of its proper subgroups, then .
ii) If x and y are elements of a non-abelian group (G, ) such that , then  or , where e is the identity of G with respect to $$.
iii) There exists a unique non-abelian group of prime order.
iv) If , where A is a group, then .
v) If H and K are normal subgroups of a group G, then .

 Find the image of the circle  under the mapping . What happens when ?

Evaluate the following integrals:
i) .  

ii) 

 साइक्लोहैक्सेनॉल का एक प्रतिदर्श का अवरक्त स्पेक्ट्रम रिकॉर्ड किया गया है। आप उस अवरक्त स्पेक्ट्रम में कौन-से मुख्य अवशोषण बैंडों को ढूंढेंगे?

उपयुक्त आरेखों की सहायता से समझाइए कि अवरक्त स्पेक्ट्रम को अवशोषण विधा और पारगम्यता विधा में कैसे दर्शाया जाता है?

-असंतृप्त कीटोनों (ईनोनों) और ऐल्डिहाइडों में  अवशोषण की प्रागुक्ति के फीजर-स्कॉट नियम की व्याख्या कीजिए।

 ब्रोमोबेन्जीन  में किस प्रकार की सृति प्रेक्षित होते हैं?

डाइईनों में  अवशोषण की प्रागुक्ति के वुडवर्ड नियम समझाइए।

 वर्णोत्कर्षी सृति और वर्णापकर्षी सृति में क्या अंतर है?

यदि किसी अभिक्रिया में इलेक्ट्रॉनस्नेही  पिरिडीन की 2-स्थिति पर आक्रमण करे तो उत्पन्न मध्यवर्ती की अनुनाद संरचनाएँ लिखिए।

पिरोल के व्यापारिक उत्पादन में शामिल अभिक्रिया और इसमें उपयोग होने वाले अन्य अभिकर्मकों को भी लिखिए।