Which of the following statements are true? Give reasons for your answers.
i) If a group G is isomorphic to one of its proper subgroups, then .
ii) If x and y are elements of a non-abelian group (G, ) such that , then
or
, where e is the identity of G with respect to $$.
iii) There exists a unique non-abelian group of prime order.
iv) If , where A is a group, then
.
v) If H and K are normal subgroups of a group G, then .
i) False. A group cannot be isomorphic to one of its proper subgroups if it is finite. For infinite groups like the integers under addition, this is possible, but for finite groups, the ________ _________ _______ ___ _________ _____ ______.
____ ________ ________ _____ _____ ______ ________ __________ _____ ___.
_______ ________ _________ _________ ______ ____ ____ ____ __________ ______ ______ __________.
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सिद्ध कीजिए कि चक्रीय समूह के प्रत्येक अतुच्छ उपसमूह का परिमित सूचकांक होता है। इस तरह सिद्ध कीजिए कि चक्रीय नहीं है
क) क्रमविनिमेय वलय R की गुणजावली I के लिए,, किसी
के लिए परिभाषित कीजिए। दिखाइए कि
यहाँ चित्र में दिए गए टेक्स्ट का लिखित रूप है:
i) की एक गुणजावली है।
ii) .
iii) कुछ स्थितियों में
।
ख) क्या वलय R की कोई भी दो गुणजावलियों I और J के लिए,
? अपने
उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(5)
समूह समाकारिता के मूल प्रमेय की सहायता से निम्नलिखित प्रमेय, जिसे ज़ासनहाउस (तितली) प्रमेयिका कहा जाता है, को सिद्ध कीजिए।
यहाँ चित्र में दिए गए टेक्स्ट का लिखित रूप है:
मान लीजिए H और K समूह G के उपसमूह हैं और H' और K', H और K के प्रसामान्य उपसमूह हैं। तब
i) ,
ii) ,
iii)
Find all the units of .
वह न्यूनतम दीजिए जिसके लिए An अनाबेली है। अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
. Which of the following statements are true, and which are false? Give reasons for your answers.
i) If k is a field, then so is .
ii) If R is an integral domain and I is an ideal of R, then .
iii) In a domain, every prime ideal is a maximal ideal.
iv) If R is a ring with zero divisors, and S is a subring of R, then S has zero divisors.
v) If R is a ring and is of degree
, then f(x) has exactly n roots in R.
केली प्रमेय की सहायता से एक ऐसा क्रमचय समूह ज्ञात कीजिए जो कि कोटि 12 वाले चक्रीय समूह के तुल्याकारी हो।