Solve:
The given equation is: \[ (D^2 - 2DD' + D'^2)z = 12xy \] where: - \( D = \frac{\partial}{\partial x} \) - \( D' = \frac{\partial}{\partial y} \) ### Step 1: Solve the Auxiliary Equation The corresponding homogeneous equation is: \[ (D^2 - 2DD' + ________ _______ __________ ________ _______ _____ ______.
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Verify that the equation
is integrable and find its primitive.
Find the orthogonal trajectories of the family of parabolas x = cy2 and sketch their graph.
समीकरण y" + w²y = 0 के संगत रिकेटी समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solve :
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य? अपने उत्तर की पुष्टि उपपत्ति या प्रति उदाहरण की सहायता से कीजिए।
i) अवकल समीकरण के हल का अस्तित्व है, परन्तु हल अद्वितीय नहीं है।
ii) परवलय y² = 4x के बिंदु (t², 2t) पर सभी स्पर्श रेखाओं ty = x + t2 को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण x(y')² + yy'+1=0 है।
iii) आंशिक अवकल समीकरण auxx + 2b uxy + cu,yy = 0 जहाँ a, b, c अचर हैं, असमनिय होता है जब b2 ac = 0 हो।
iv) अंतराल ] - π/2, π/2 [ में फलन f1(x) = cos²x, f2(x) = sin²x, f3(x) = sec² x तथा f4(x) = tan²x रैखिकतः परतंत्र है।
v) द्वितीय कोटि आंशिक अवकल समीकरण के हल में दो स्वेच्छ अचर शामिल होंगे।
Using the method of variation of parameters, solve the equation
सत्यापित कीजिए कि समीकरण
समाकलनीय है और इसका पूर्वग ज्ञात कीजिए।