Find all the units of Z12.
To find all the units of \( \mathbb{Z}_{12} \), we need to determine which elements in \( \mathbb{Z}_{12} \) have a multiplicative inverse. In other words, we need to find all numbers \( a \) such that there _____ ______ _______ ________ _____ __________ ___ _____ ________.
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मान लीजिए कि G कोटि 56 का एक समूह है। इसके सभी सीलो p-उपसमूह क्या होंगे? दर्शाइए कि G सरल नहीं है, अर्थात् G का एक उचित प्रसामान्य अतुच्छ उपसमूह अवश्य ही होना चाहिए।
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य है? अपने उत्तरों की पुष्टि कीजिए। (इसका अर्थ है कि यदि आप सोचते हैं कि कोई कथन असत्य है, तो एक संक्षिप्त उपपत्ति या एक उदाहरण ऐसा दीजिए जो उसे असल्य दर्शाए। यदि यह एक सत्य कथन है, तो तो ऐसा कहने। ऐसा कहने के लिए एक संक्षिप्त उपपत्ति दीजिए।)
(i) जहाँ φ के ऑयलर-फाई फलन है।
ii) यदि G1, और G2, समूह हैं, तथा f:G1, G2, एक समूह समाकारिता है, तो ० (G₁)=o(G₂) होगा।
iii) यदि G एक आबेली समूह है, तो G चक्रीय होगा।
iv) यदि G एक समूह है तथा तो | G:H|= 2 होता है।
v) Sn के प्रत्येक अवयव की कोटि ज़्यादा से ज़्यादा होती है।
vi) यदि R एक वलय है तथा R की एक गुणजावली 1 है, तो और
vii) यदि सम संख्या में असंयुक्त चक्रों का गुणनफल है, तो sign(Q) = 1 होता है।
viii) यदि किसी वलय का एक मात्रक है, तो उसका केवल एक ही मात्रक होता है।
ix) परिमित क्षेत्र का अभिलक्षणिक शून्य होता है।
x) [0, 1] से R तक असंतत फलनों का समुच्चय बिंदुशः योग और गुणन के सापेक्ष एक वलय होता है।
के और इसकी संरचनाको स्पष्ट शम में दीजिए।
मान लीजिए कि वलय M₂ (Z) का एक उपवलय है या नहीं।
यदि है, तो जाँच कीजिए कि वह इस वलय की एक गुणजावली भी है या नहीं। यदि I इस वलय का एक उपवलय नहीं है, तो इस वलय का एक उपवलय दीजिए।
मान लीजिए कि तथा
और
i) दर्शाइए कि M, R की एक गुणजावली है।
ii) दर्शाइए कि यदि 5/ a या 5/b, तो 5/ (a²+b²), जहां a,
अत, दर्शाइए कि यदि N. R की एक ऐसी गुणजावली है जिसका M एक उचित उपसमुच्चय है, तो N = R होगा।
iv) दर्शाइए कि एक क्षेत्र है, तथा इस क्षेत्र के दो अलग-अलग शून्येतर अवयव दीजिए।
जाँच कीजिए कि निम्नलिखित का एक उपसमूह है या नहीं:
i) ii)
Explicitly give the elements and structure of the group Sn/An, n ≥5.