) Which of the following statements are true and which are false? Justify your answer with a short proof or a counterexample.
i) The function  defined by  is 1-1.
ii) The operation $ defined byx y = \log(xy)is a binary operation onS, whereSis the set\{x \in \mathbf{R} \mid x > 0\}$.
iii) The set  is a subspace of .
iv) There is no  matrix of rank 6.
v) If V and V' are vector spaces and  is a linear transformation, then whenever  are linearly independent,  are also linearly independent.
vi) If V is a vector space and  is a linear operator with , then T is not diagonalisable.
vii) The degree of the minimal polynomial of a  matrix is at most 2.
viii) For any  matrix A, .
ix) The only matrix which is both symmetric and skew-symmetric is the zero matrix.
x) There is no co-ordinate transformation that transforms the quadratic form x² + y² + z² to the quadratic form xz + yz.

a) Apply the Gram-Schmidt diagonalisation process to find an orthonormal basis for the subspace of  generated by the vectors

Check that  given by  is well defined and 1 - 1.
Further, check that  for any . 

Check that  for any . 

) Using the fact that  for any two matrices A and B, prove the identity

निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं और कौन से असत्य हैं? लघु उपपत्ति या प्रति उदाहरण के साथ अपनी उत्तर की पुष्टि कीजिए।
i)  द्वारा परिभाषित फलन , 1-1 है।

ii)  द्वारा परिभाषित संक्रिया S पर द्वि-आधारी संक्रिया है जहाँ S समुच्चय  है।

iii) समुच्चय   की उपसमष्टि है।

iv) जाति 6 का कोई  आव्यूह नहीं होता।

v) यदि V और V' सदिश समष्टियाँ हैं और  रैखिक रूपांतरण है, तब जब भी  रैखिकता: स्वतंत्र होते हैं, तब  भी रैखिकता: स्वतंत्र होते हैं।

vi) यदि V एक सदिश समष्टि है और  वाला रैखिक सँकारक है, तब T विकर्णीय नहीं होता।

vii) एक  आव्यूह के अल्पिष्ठ बहुपद की कोटि अधिकतम 2 है।

viii)कोई भी  आव्यूह A के लिए ।

ix) केवल शून्य आव्यूह ऐसा आव्यूह है जो सममित और विषम सममित दोनों होता है।

x) कोई भी ऐसा निर्देशांक रूपांतरण नहीं है जो द्विघाती समघात x² + y² + z² को द्विघाती समघात xz + yz में रूपांतरित करता है।

Check that f(x) is well defined and 1 - 1.