सिद्ध कीजिए कि चक्रीय समूह के प्रत्येक अतुच्छ उपसमूह का परिमित सूचकांक होता है। इस तरह सिद्ध कीजिए कि चक्रीय नहीं है
मान लीजिए (G) एक चक्रीय समूह है। तब (G=\langle a\rangle) किसी तत्व (a) द्वारा जनित होगा। यदि (G) परिमित है, मान लें (|G|=n), तो (G) के प्रत्येक उपसमूह का क्रम (n) का भाजक होता है। अतः कोई भी अतुच्छ उपसमूह (H) भी परिमित होगा और _____ ___ ______ _____ _________ ____ _____ __________ __________ ________.
______ ___ ____ _______ __________ ___ ___ ________ _____.
____ _______ ________ ______ _________ ______ ______ ______ _____ _________ _________ ______.
__________ ___ ______ __________ ________ ___ ____ ________.
________ _______ _________ __________ _____ __________.
_____ ________ _________ _____ _____ _________ ____ ____ _______.
_____ _________ __________ ______ _____ ________ ________ ____ ______ _______ ____ ____.
_________ __________ __________ ______ __________ ______ ________ _______ ____ _______ _________.
_________ _________ ______ _____ ____ _____ ____ __________ ___ _______.
_______ __________ ___ _____ _________ _________ ____ __________ ____ _________.
_____ ____ _______ ____ _________ ________ _________.
___ _______ ____ _________ _________ ____ _____ _______ _____ _________ __________ ________.
____ _________ _____ ______ _________ ________.
_______ _____ _______ ____ ________ ____ __________ _______ _______.
_______ ____ ____ ___ _________.
______ ________ _____ ______ _______ _________ _________ ____ _____ ____ ________ ____.
__________ ________ __________ _______ _________ ________.
___ _________ _______ ____ ____ _____ _____ _______.
______ _________ _________ _________ ________ ____ _______ _______ _____ ____.
______ ____ _____ ______ _____ ________ _____ ______ __________ _________ ________.
____ _____ _______ _________ __________ __________ ___.
_________ ____ _______ _________ ______ ________ _______ ________ _____ ______ ______ __________.
______ __________ _________ __________ ___ ___ _______ _______ _________ __________ ____.
____ _____ _________ ____ _____ ______ ___ ___.
_________ _________ ______ ____ ______ ____.
Get Full Answer on WhatsApp
Find all the units of .
यदि , तो o(g) अपरिमित है।
Prove that every non-trivial subgroup of a cyclic group has finite index. Hence prove that is not cyclic.
मान लीजिए S10 में एक नियत विषम क्रमचय है। दिखाइए कि S10 का प्रत्येक विषम क्रमचय
और A10 के किसी क्रमचय का गुणनफल है।
Find all the units of .
Check whether or not
is a field.
सिद्ध कीजिए कि केवल एक जनक वाले चक्रीय समूह के अधिक से अधिक 2 अवयव हो सकते हैं।
Use the Fundamental Theorem of Homomorphism for Groups to prove the following theorem, which is called the Zassenhaus (Butterfly) Lemma:
Let H and K be subgroups of a group G and H' and K' be normal subgroups of H and K, respectively. Then
i)
ii)
iii)
The situation can be represented by the subgroup diagram below, which explains the name ‘butterfly’.
PART-B (MM: 30 Marks)
(Based on Block 3.)