या H अपरिमित है;
बीजगणित में अपरिमितता की अवधारणा अत्यंत महत्वपूर्ण है। जब किसी समीकरण के हलों की संख्या सीमित न होकर अनंत होती है, तब कहा जाता है कि उस समीकरण के अपरिमित हल हैं। इसी प्रकार यदि किसी समुच्चय, जैसे H, के अवयवों की संख्या गिनी न जा सके और वह किसी निश्चित सीमा में बंधी न हो, तो उसे अपरिमित समुच्चय कहा जाता है। अपरिमितता गणितीय संरचनाओं की _____ ___ ____ __________ ________.
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सिद्ध कीजिए कि चक्रीय समूह के प्रत्येक अतुच्छ उपसमूह का परिमित सूचकांक होता है। इस तरह सिद्ध कीजिए कि चक्रीय नहीं है
. Which of the following statements are true, and which are false? Give reasons for your answers.
i) If k is a field, then so is .
ii) If R is an integral domain and I is an ideal of R, then .
iii) In a domain, every prime ideal is a maximal ideal.
iv) If R is a ring with zero divisors, and S is a subring of R, then S has zero divisors.
v) If R is a ring and is of degree
, then f(x) has exactly n roots in R.
Let be a fixed odd permutation in S10. Show that every odd permutation in S10 is a product of
and some permutation in A10.
Use the Fundamental Theorem of Homomorphism for Groups to prove the following theorem, which is called the Zassenhaus (Butterfly) Lemma:
Let H and K be subgroups of a group G and H' and K' be normal subgroups of H and K, respectively. Then
i)
ii)
iii)
The situation can be represented by the subgroup diagram below, which explains the name ‘butterfly’.
PART-B (MM: 30 Marks)
(Based on Block 3.)
निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से असत्य हैं? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
i) किसी भी वलय R और के लिए,
।
ii) किसी भी वलय में कम-से-कम दो अवयव होते हैं।
iii) यदि R एक तत्समकी वलय है और I, R की एक गुणजावली है, तो R/I का तत्समक वही होता है जो कि R का तत्समक है।
iv) यदि एक वलय समाकारिता है, तो यह (R, +) से (S, +) तक एक समूह समाकारिता है।
v) यदि R एक वलय है, तो से R तक कोई भी वलय समाकारिता आच्छादक होता है।
केली प्रमेय की सहायता से एक ऐसा क्रमचय समूह ज्ञात कीजिए जो कि कोटि 12 वाले चक्रीय समूह के तुल्याकारी हो।
For an ideal I of a commutative ring R, define. Show that
i) is an ideal of R.
ii) .
iii) in some cases.