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आइए प्रत्येक कथन का विश्लेषण करके यह निर्धारित करें कि वे सत्य हैं या असत्य। --- ### (i) \(\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{2}\sin\frac{1}{x}}{\sin x}=1\) #### *हल:* इस सीमा को हल करने के लिए, हम संख्यात्मक और सैद्धांतिक दोनों तरीकों से मूल्यांकन करेंगे। - चूँकि \(\sin \frac{1}{x}\) का मान \([-1,1]\) के बीच दोलित करता है, इसलिए \[ -x^2 \leq x^2 \sin \frac{1}{x} \leq x^2 \] और \(\sin x \approx x\) के लिए छोटे \(x\) के आस-पास, यह समीकरण \[ \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{\sin x} = \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x} \] \[ = x \sin \frac{1}{x} \] बनता है, जिसका मान \([-x, x]\) के भीतर दोलित करता है। - जब \(x \to 0\), तो \(\sin \frac{1}{x}\) के कारण यह सीमा निश्चित नहीं होती, बल्कि दोलित करती रहती है। निष्कर्ष: यह सीमा 1 के बराबर नहीं होती, अतः कथन असत्य है। --- ### (ii) तीन घरों वाला एक वास्तविक मान फलन, जो सर्वत्र संतत है, अवकलनीय होता है। #### *हल:* "तीन घरों वाला फलन" का अर्थ है कि इसका ग्राफ तीन अलग-अलग खंडों में बंटा हुआ है, फिर भी यह सभी ____ ____ ______ _______ ________ __________ _____ __________ _________ ____ ____.
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