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दी गई श्रेणी: \[ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\sin nx}{n\sqrt{n}} \] की निरपेक्ष और सप्रतिबंध (conditional) अभिसरण की जाँच करने के लिए हम निम्नलिखित परीक्षणों का उपयोग करेंगे: ### 1. निरपेक्ष अभिसरण (Absolute Convergence) की जाँच अगर श्रेणी \(\sum |a_n|\) अभिसरित होती है, तो मूल श्रेणी भी अभिसरित होती है। यहाँ, \[ a_n = (-1)^{n-1} \frac{\sin nx}{n\sqrt{n}} \] इसलिए, इसकी निरपेक्ष श्रेणी होगी: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{\sin nx}{n\sqrt{n}} \right| \] क्योंकि \(|\sin nx| \leq 1\), इसलिये: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{n}} \] अब हम इस श्रेणी की अभिसरण ____ _____ ______ ________ ___ _________ _________.
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