दर्शाइए कि के अंततः अनेक मान हैं जिनके लिए अखंडनीय है।
हम समीकरण \[ x^7 + 15x^2 - 30x \] के अखंडनीय (irreducible) होने की स्थितियों का विश्लेषण करेंगे। ### चरण 1: सामान्य विश्लेषण समीकरण को \( \mathbb{Q}[x] \) में देखते हैं। यदि इसे किसी निम्न डिग्री के बहुपदों में तोड़ा जा सकता है, तो यह अखंडनीय नहीं होगा। अन्यथा, यह अखंडनीय होगा। ### चरण 2: सामान्य गुणनखंड निकालना समीकरण ________ ___ ____ ________ ________ _____ ______.
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) के और इसकी संरचनाको स्पष्ट शम में दीजिए।
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य है? अपने उत्तरों की पुष्टि कीजिए। (इसका अर्थ है कि यदि आप सोचते हैं कि कोई कथन असत्य है, तो एक संक्षिप्त उपपत्ति या एक उदाहरण ऐसा दीजिए जो उसे असल्य दर्शाए। यदि यह एक सत्य कथन है, तो तो ऐसा कहने। ऐसा कहने के लिए एक संक्षिप्त उपपत्ति दीजिए।)
(i) जहाँ φ के ऑयलर-फाई फलन है।
ii) यदि G1, और G2, समूह हैं, तथा f:G1, G2, एक समूह समाकारिता है, तो ० (G₁)=o(G₂) होगा।
iii) यदि G एक आबेली समूह है, तो G चक्रीय होगा।
iv) यदि G एक समूह है तथा तो | G:H|= 2 होता है।
v) Sn के प्रत्येक अवयव की कोटि ज़्यादा से ज़्यादा होती है।
vi) यदि R एक वलय है तथा R की एक गुणजावली 1 है, तो और
vii) यदि सम संख्या में असंयुक्त चक्रों का गुणनफल है, तो sign(Q) = 1 होता है।
viii) यदि किसी वलय का एक मात्रक है, तो उसका केवल एक ही मात्रक होता है।
ix) परिमित क्षेत्र का अभिलक्षणिक शून्य होता है।
x) [0, 1] से R तक असंतत फलनों का समुच्चय बिंदुशः योग और गुणन के सापेक्ष एक वलय होता है।
जाँच कीजिए कि निम्नलिखित का एक उपसमूह है या नहीं:
i) ii)
Let G be a group of order 56. What are all its Sylow p-subgroups? Show that G is not simple, i.e., G must have a proper normal non-trivial subgroup.
Show that there are infinitely many values of a for which x² +15x²-30x + a is irreducible in Q[x].
मान लीजिए कि वलय M₂ (Z) का एक उपवलय है या नहीं।
यदि है, तो जाँच कीजिए कि वह इस वलय की एक गुणजावली भी है या नहीं। यदि I इस वलय का एक उपवलय नहीं है, तो इस वलय का एक उपवलय दीजिए।
दर्शाइए कि के अंततः अनेक मान हैं जिनके लिए अखंडनीय है।