गर्शगोरिन परिबंधों का प्रयोग करके आव्यूह$
के आइगेनमान आकलित कीजिए।
दिया गया आव्यूह [ A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2\ -1 & 1 & 2\ 2 & 2 & -2 \end{bmatrix} ] गर्शगोरिन परिबंधों के अनुसार, प्रत्येक पंक्ति के लिए एक वृत्त बनाया जाता है _____ _____ _________ ___ _______ _______ ___.
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बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तर की पुष्टि के लिए एक लघु उपपत्ति या प्रत्युदाहरण दीजिए।
क) समीकरण का अंतराल [3, 5] में कोई मूल नहीं है।
ख) , जहाँ E स्थानांतरी संकारक और
अग्रांतर संकारक हैं।
ग) प्रत्येक रैखिक समीकरण निकाय LU वियोजन विधि से हल किया जा सकता है।
घ) आंकड़ों (2, 4), (1, 5), (3, 6) के लिए न्यूटन विभाजित अंतर f[x0, x1, x2] का मान है।
ङ) न्यूटन-रैफसन विधि से किसी धन वास्तविक संख्या का घनमूल ज्ञात नहीं किया जा सकता है।
Prove that a cyclic group with only one generator can have at most 2 elements.
Use the Fundamental Theorem of Homomorphism for Groups to prove the following theorem, which is called the Zassenhaus (Butterfly) Lemma:
Let H and K be subgroups of a group G and H' and K' be normal subgroups of H and K, respectively. Then
i)
ii)
iii)
The situation can be represented by the subgroup diagram below, which explains the name ‘butterfly’.
PART-B (MM: 30 Marks)
(Based on Block 3.)
घात विधि द्वारा निम्नलिखित आव्यूह का परिमाण में अधिकतम आइगेनमान व संगत आइगेनसदिश ज्ञात कीजिए :$
प्रारम्भिक सन्निकटन (1, 0, 0)T लेकर 4 पुनरावृत्तियाँ कीजिए।
विश्रामावस्था से आरंभ कर रही एक गाड़ी का वेग पहले घंटे के लिए निम्नलिखित तालिका में दिया गया है। सिम्पसन
का नियम लागू करके, इस घंटे में गाड़ी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए :
Which of the following statements are true, and which are false? Give reasons for your answers.
i) For any ring R and .
ii) Every ring has at least two elements.
iii) If R is a ring with identity and I is an ideal of R, then the identity of R/I is the same as the identity of R.
iv) If is a ring homomorphism, then it is a group homomorphism from (R, +) to (S, +).
v) If R is a ring, then any ring homomorphism from into R is surjective.
) Evaluate by using trapezoidal rule with
and
. Use Romber's method to find the best value of
.