क) विशेषताओं की स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-स्क्वायर(Chi - Square) परीक्षण, और

(ख) उपयुक्तता के परीक्षण के लिए काई-स्क्वायर परीक्षण में अपेक्षित आवृत्तियों से आपका क्या अभिप्राय है? उपरोक्त प्रत्येक स्थिति में अपेक्षित मानों की गणना करने में आपके द्वारा अपनाई गई प्रक्रिया को संक्षेप में समझाइए|

## अनुसंधान पद्धति और सांख्यिकीय विश्लेषण

### क) विशेषताओं की स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-स्क्वायर परीक्षण

काई-स्क्वायर परीक्षण एक सांख्यिकीय तकनीक है जिसका उपयोग विभिन्न विशेषताओं के बीच स्वतंत्रता (Independence) की जांच करने के लिए किया जाता है। इसे वर्ग (Square) के आंकड़ों की तुलना करके किया जाता है और यह यह निर्धारित करता है कि क्या दो श्रेणियाँ (Categories) एक दूसरे से स्वतंत्र हैं या नहीं।

#### काई-स्क्वायर परीक्षण का आधार

काई-स्क्वायर परीक्षण का आधार यह है कि यदि विशेषताएँ स्वतंत्र हैं, तो उनकी आवृत्तियाँ अपेक्षित आवृत्तियों के समान होंगी। परीक्षण में निम्नलिखित चरण शामिल होते हैं:

1. शून्य परिकल्पना (Null Hypothesis): सामान्यत: यह मान लिया जाता है कि विशेषताएँ स्वतंत्र हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम यह देख रहे हैं कि पुरुष और महिलाएँ एक विशेष उत्पाद को खरीदने में समान रूप से रुचि रखते हैं, तो शून्य परिकल्पना होगी कि "पुरुषों और महिलाओं के बीच खरीदारी में कोई अंतर नहीं है।"

2. डेटा संग्रह: उपयुक्त डेटा संग्रहित करना आवश्यक है। इसके लिए हम सर्वेक्षण, प्रयोग या अन्य तरीकों का उपयोग कर सकते हैं।

3. संख्यात्मक विश्लेषण: एक तालिका (Contingency Table) बनाई जाती है, जिसमें विभिन्न श्रेणियों की आवृत्तियाँ होती हैं।

4. अपेक्षित आवृत्तियों की गणना: अपेक्षित आवृत्तियाँ निम्नलिखित सूत्र से प्राप्त की जाती हैं:

   \[
   E_{ij} = \frac{(R_i \times C_j)}{N}
   \]

   जहां:
   - \( _________ ______ _________ ___ _____ _____.
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