अपने वर्गीकरण की पुष्टि करते हुए निम्नलिखित को रैखिक और अरैखिक निदर्शों में वर्गीकृत कीजिए
I) लघुदोलन आयाम वाली सरल आवर्त गति
III) किसी समय पर अचर त्वरण और प्रारंभिक वेग यू से गतिमान एक कण के वेग का समीकरण
प्रश्न का सार: निम्नलिखित को रेखिक (Linear) और अरेखिक (Non-linear) अवकल समीकरणों में वर्गीकृत करना है तथा कारण बताना है। --- ### (i) लघुदोलन आयाम वाली सरल आवर्त गति (Simple Harmonic Motion) सरल आवर्त गति का अवकल समीकरण होता है: [ ____ _________ _______ __________ ____ _________ ____ _____ ________ ________ _________.
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State two real-world problems where you think that mathematical modelling is the only approach to find the solution of the problem. Give 4 essentials for each of the problems. Why do you think that there is no other scientific alternative for the treatment of these problems.
b) Classify the following into linear and non-linear models, justifying your classification.
i) Simple harmonic motion for small amplitude of oscillation.
ii) Population growth model given by
iii) Equation for velocity v of a particle at any time t, moving with a constant acceleration a, and initial velocity u.
iv) Equation describing dynamic stability of market equilibrium price given by
$
and pt is the price in period t.
Consider the group of individuals born in a given year () and let n(t) be the number of these individuals surviving t year later. Let x(t) be the number of members of this group who have not had smallpox by year t and are therefore still susceptible. Let
be the rate at which susceptibles contract smallpox and let v be the rate at which people who contract smallpox die from the disease. Finally, let
be the death rate from all causes other than smallpox. If dx / dt and dn / dt are, respectively the rates at which the number of susceptibles and entire population decline due to contraction from smallpox and also due to death from all causes then
i) Formulate the above problem by writing equations for dx / dt and dn / dt.
ii) Taking , show that z satisfies the initial value problem
iii) Find z(t) at any time t.
iv) Bernoulli estimated that . Using these values, determine the proportion of 20 years old who have not had smallpox.
एक दिए हुए वर्ष में पैदा हुए व्यक्तियों का एक समूह लीजिए और मान लीजिए इस समूह में से t वर्ष बाद जीवित रहने वाले व्यक्तियों की संख्या n(t) है। मान लीजिए x(t) इस समूह के उन सदस्यों की संख्या है, जिन्हें t वर्ष बाद तक चेचक नहीं हुआ है और इसलिए वे अभी तक सुग्राह्य बने हुए हैं। मान लीजिए
वह दर है जिससे सुग्राह्य व्यक्तियों को चेचक होता है और
वह दर है जिससे चेचक से पीड़ित व्यक्तियों की मृत्यु हो जाती है। अंत में मान लीजिए कि चेचक के अतिरिक्त अन्य कारणों से व्यक्ति की मृत्यु होने की दर
है। यदि dx/dt और dn/dt क्रमशः वह दर हो जिससे चेचक होने के कारण तथा अन्य कारणों से मृत्यु होने पर सुग्राह्य व्यक्तियों की संख्या और पूरी जनसंख्या में कमी आती हो, तो
i) dx/dt और dn/dt के समीकरण लिखकर ऊपर की समस्या का सूत्रण करें।
ii) लेकर यह दिखाइए कि z निम्नलिखित आदिमान समस्या को संतुष्ट करता है।
$
iii) किसी भी समय t पर z(t) का मान ज्ञात कीजिए।
iv) बर्नाली ने यह आकलित किया था कि इन मानों की सहायता से 20 वर्ष की आयु वाले उन व्यक्तियों का समानुपात ज्ञात कीजिए जिन्हें चेचक नहीं हुआ था।
A monopolist sets a price 'p' per unit and the quantity demanded 'q' is given by the following relation:
Let there be a fixed cost of Rs.9 and a marginal cost of Rs.1 per unit.
i) Write the profit function of monopolist.
ii) For maximum profit, find the number 'x' of units produced. Also find the maximum profit.
iii) A potential entrant enters into the business of the monopolist. He believes that the monopolist will go on making 'x' units. Write the profit function of the entrant.
iv) For maximum profit of entrant, find the number 'z' of units produced.
v) Find the maximum profit of the entrant. Explain whether he should enter into the business or not.
vi) Find the profit made by the monopolist after the entrant has entered into business.
द्रव्यमान M वाला एक कण केन्द्र से दूरी A से विरामावस्था से प्रारंभ करके आकर्षण-केन्द्र की ओर एक सरल रेखा में गतिमान होता है। केन्द्र से दूरी X पर इसका वेग 
के अनुसार परिवर्तित करता है। बल-नियम ज्ञात कीजिए।
Consider the cubic total cost function
Assume that the price of q is 15 per unit. Find the output which yields maximum profit.
b) Apply dominance to find the optimum strategies of A and B from the pay-off matrix given below
| Player B | |||
| u | v | ||
| x |
|
| |
| Player A | y |
|
|
| z |
|
| |
जल निकाय में फाइटोप्लैंक्टन की एक विम संवृद्धि लीजिए। संवृद्धि की गतिकी का निर्धारण करने वाला निदर्श सूत्रित कीजिए, D इसका विसरण गुणांक है, r इसकी संवृद्धि दर है और R डूबने के कारण इसकी मृत्यु-दर है। यदि हम क्षेत्रफल लें, और फाइटोप्लैंक्टन का प्रारंभिक सांद्रण
मान लें, तो किसी भी समय t पर में फाइटोप्लैंक्टन का सांद्रण बंटन ज्ञात कीजिए।